遥動散逸定理の導入

竹ちゃん

Bose凝縮の次元性の所でとちったらしく、「逆でしたすいません。逆でしたすいません。えへ。ぎゃくでしたすいません。」を5回ほどリピートしてた。相変わらずきょどってるところが素敵だ。
エネルギーの平均値というのは分配関数のlog取った奴の一階微分で書ける
  Z=\sum_ne^{-\beta \epsilon_n} \\ \beta \equiv \frac{1}{kT}
として、
  \langle\epsilon\rangle =\frac{\partial}{\partial \beta}\log Z \\=\sum_n\epsilon_n\underbrace{\frac{e^{-\beta\epsilon_n}}{Z}}_{=p_n}
らしい。
これをもう一発微分すると比熱が出てくる。比熱の定義は、
  c=\frac{\partial\langle\epsilon\rangle}{\partial T}=\frac{\partial \beta}{\partial T}\frac{\partial\langle\epsilon\rangle}{\partial \beta}\\=-\frac{1}{kT^2}\frac{\partial\langle\epsilon\rangle}{\partial \beta}
なので、
  \frac{\partial\langle\epsilon\rangle}{\partial \beta}=\frac{\partial}{\partial \beta}\sum_n\epsilon_n{\frac{e^{-\beta\epsilon_n}}{Z}}\\=\sum_n\epsilon_n^2\frac{e^{-\beta\epsilon_n}}{Z}-\{\sum_n\epsilon_n\frac{e^{-\beta\epsilon_n}}{Z}\}^2\\=\langle\epsilon^2\rangle-\langle\epsilon\rangle^2\\=\langle\Delta\epsilon\rangle^2
で揺らぎの二乗平均になる。らしい。これはまだ統計力学の教科書の最初の方のお話なんだが、ようするに比熱は温度βの応答として返ってくるというこった。