摂動法 - Sλの日記 --うつろな日々--

摂動法をやった。っつーかやっぱし眠くなった。どうしょうもなくねみー。これから昼寝するっす。もしくはにどー寝。
量子力学で相互作用のある消滅演算子の分配関数*1というのは
   $\large Z=\Bigint \scr{D}[\phi^*\phi]e^{\Bigint d\tau\{\frac{\partial\phi^*}{\partial \tau}\phi+H(\phi^*,\phi)+J^*\phi+\phi^*J\}}$
で書ける。ここでHはHamiltonian*2で、その前のφだとかなんだとかはLagrangeanからHamiltonianに書き換えたときのオマケで、JφとかφJとかが相互作用の項。
ここで作用積分の中を見ると、
   $S[J^*,j|\phi^*\phi]=\Bigint d\tau\{\frac{\partial\phi^*}{\partial \tau}\phi+H(\phi^*,\phi)+J^*\phi+\phi^*J\}$
という風にJの関数になってる。この関数をもとの積分の中に放り込むと分配関数はJの汎関数になっている。これはφの二次関数なので、うだうだ計算して、
   $\frac{\partial\phi^*}{\partial \tau}\phi+H(\phi^*,\phi)+J^*\phi+\phi^*J=\frac{\phi_{n+1}-\phi_n}{\Delta\tau}\phi_n+H(\phi^*\phi)+J^*\phi+\phi^*J\\=(\phi^*+J^*L^{-1})L(\phi+JL^{-1})$
になる。このうち第一項はφで積分 *3すると定数になるので、第二項だけが分配関数に寄与する。ということで、結局、
   $Z=Const.\times e^{-J*L^{-1}J}$
っていう風になる。そして、分配関数を微分したりすると色んな物理量が出てくるわけだが、そこで摂動パラメータJを逐一0に収束させることでインチキ相互作用とか似非非平衡の結果現れる物理量を知ることが出来るってことらしい。
流体力学だと、主流成分と摂動成分に分けて考えるのが普通だ。
境界層方程式だと、主流をU(y)、摂動成分をu(y,z)として、運動方程式のｚ成分にぶち込むと、
   $\frac{d}{dt}(U+\epsilon u)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial z}+\nu$\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$(U+\epsilon u)$
ここで加速度項を見ると、
   $\frac{\partial}{\partial t}(U+\epsilon u)+(U+\epsilon u)\frac{\partial}{\partial z}(U+\epsilon u)+v\frac{\partial}{\partial y}(U+\epsilon u)\\=\frac{\partial U}{\partial t}+U\frac{\partial U}{\partial z}+v\frac{\partial U}{\partial y}+\epsilon[\frac{\partial u}{\partial t}+U\frac{\partial u}{\partial z}+u\frac{\partial U}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial y}]+O(\epsilon^2)$
になる。ここでUはzとは無関係だからとか微小量の自乗は無視するとかやると、
   $\frac{\partial}{\partial t}(U+\epsilon u)+(U+\epsilon u)\frac{\partial}{\partial z}(U+\epsilon u)+v\frac{\partial}{\partial y}(U+\epsilon u)\\\simeq\frac{\partial U}{\partial t}+U\frac{\partial U}{\partial z}+v\frac{\partial U}{\partial y}+\epsilon[\frac{\partial u}{\partial t}+U\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial y}]$
となる。そして結局運動方程式は　
   $\frac{\partial U}{\partial t}+U\frac{\partial U}{\partial z}+v\frac{\partial U}{\partial y}+\epsilon[\frac{\partial u}{\partial t}+U\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial y}]=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(P+\epsilon p)+\nu\{$\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$U+(\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\epsilon\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)u\}$
になる。すでに主流については運動方程式は成り立ってるので、摂動成分の絞り粕は、
   $\frac{\partial u}{\partial t}+U\frac{\partial u}{\partial z}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+\nu$\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$u$
とかいうふうになる。うーん線形だねえ。やっぱBlasiusとかPrandtleはすげーや。
一応量子力学も流体力学も摂動法の扱いは同じみたい。っつーか朝っぱらからこんな数式を書き連ねて一体何が楽しいんだと自分を小一時間(ry