始めました

渦

こないだのゼミでボスにコテンパンにされたので、やり返すために取り敢えず渦の運動の基礎的なところを勉強してみる。確かに奴にはMathematicaがインストールされているが、どうにかすれば勝てるかも知れない。


渦度と流速の逆変換が可能な条件は、

  1. 流速場が円筒形(divu=0、どうやら偏微分方程式の型とかではなくて、解をプロットしたときの形らしい。)
  2. 場が単連結であること(解が単連結であることを主張したいらしい。まっすぐ無限遠に伸びた渦糸から流れ場の逆変換は不可能なのか?)
  3. 境界上で流速の法線方向成分が与えられるとき
  4. 境界が無ければ無限遠で流速が0
  5. 渦度の法線方向成分は境界上で0
  6. 解がコンパクト空間になること(有限区間で解を持って、そうでなくても区間の外側では大人しく振る舞うことらしい。)

らしい。色々と不明な部分残しつつ、先に進む。この部分は柘植先生の本*1を読むのが良いのかもしれない。
で、ここでいきなりKirchhoff(Viot-Savartだった。阿呆だ俺。)の法則が出てきたりするわけだ。
まあ流れをスカラーポテンシャルによるものとベクトルポテンシャルによるものに分けるわけさ。電磁気と同じ手法だな。っつーことで、流れは渦によるものとポテンシャルによるものに分けられて、
  \vec{u}=\vec{u_v}+\triangle \phi
になる。
ここで、uvはKirchhoff*2の法則から、渦度と流速は、
  \vec{u_v}=\frac{1}{4\pi}\Bigint d\vec{x}\frac{\vec{\omega}\times (\vec{x}-\vec{x'})}{|\vec{x}-\vec{x'}|^3}\\=-\frac{1}{4\pi}\Bigint d\vec{x}\omega\times\text{grad}\frac{1}{r}
になる。これはu→I、ω→Bにすればまんま電磁気の公式っすね。まあ渦度と流れ場はこういう関係にあるらしい。
スカラーポテンシャルの項はどーってことない調和関数系の話なんでバカでも解けるから放っとけってか?どーせrの-n乗だとかが関の山だしな。
次にベクトルポテンシャルAを定義する。
ベクトルポテンシャルの定義は、
  \vec{u}=\text{rot}\vec{A}
これと渦度の関係は、上の式にrot掛けると出てきて、適当なベクトル解析の公式から、
  \vec{\omega}=\text{rot rot}\vec{A}\\=\text{grad div}\vec{A}-\triangle\vec{A}
grad div A=0になるようにAを選べば、
  \vec{\omega}=-\triangle\vec{A}
になって、Poisson方程式になる。これもGreen関数とか適当に使うと解が出てくる。分かってることは、Aは円筒状じゃないといけないことらしい。

*1:出版されるのかはかなり怪しい。出版されても、ニーズがあるかどうかは(ry

*2:俺、Kirchhoffはロシア人だと思ってたんだけど、ドイツ人らしいっすね。