渦度とrotation - Sλの日記 --うつろな日々--

前は質量保存の範疇での渦度の解についての議論だったが、これはLaplace方程式の開空間の部分空間らしいっていうので終わった。色々な制約はあるものの、結局は調和関数のお話になって、俺はそのへんはあんまし詳しくないので、パス。でもそのうちやるけどな。っつーかさ、調和関数の議論っていうのは大体解の重ね合わせをフルに使って胡散臭いことを沢山やるものであるというのが俺の見解なんだがどうよ?特にPoisson方程式のとき。
そんなのはおいといて、次にいく。次は渦度の意味について考えるのだが、まあ簡単にいえば渦度っていうのは角運動量を質量で割ったもんだって思えば何てこたーない。
例に流速の相対値をδuとすると、
   $\vec{u}(\vec{x}+\delta\vec{x})-\vec{u}=\delta u$
とすると、これは一次近似として
   $\delta\vec{u}=\frac{\partial \vec{u}}{\partial\vec{x}}\delta\vec{x}$
ここで右側の分数はテンソル積になる。まあ行列にならないと困るから、行列になってもらう。でもって、これは確か速度勾配テンソルとかいうんだった気がする。実際に成分表示すると、
   $\delta u_i=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\delta x_j$
になる。
任意の行列は、
   $A=\frac{1}{2}(A+A^{\dag})+\frac{1}{2}(A-A^{\dag})$
という風に書いても問題ないので、これを上の速度勾配テンソルについて適用すると、
   $\frac{\partial u_i}{\partial x_j}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)+ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$
になる。
ここで、
   $e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\\ \Omega_{ij}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$
と定義して、eとΩはそれぞれ変形速度*1 テンソルと渦度テンソルとする。eの方は純粋な歪みに寄与して、こいつが効くときは四角いものが菱形に変形して行く。Ωの方はただ単に回るだけー。因に流体の構成則は歪み速度にしか効かないので、歪み速度に粘性係数を掛けて剪断応力*2 テンソルが出てくる。そしてそれを運動方程式の応力テンソルの項にぶちこむと流体の運動方程式が出てくる。渦度に何も掛かんなくて良かったなって感じっすよ。
ここで、渦度テンソルから渦度ベクトルを考えると、
   $\Omega =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)\\=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\omega_k$
になる。
で、渦度が無いときは渦無し流れなんだが、渦無しでも剛体は回転対称でなければ回転する。回転はモーメントに従うんで。だから、粘性が無くても剛体表面上で圧力勾配が出てきて回るってことらしい。ということで、今度は運動量を考える。
角運動量をAとすると、
   $\delta A_i=\rho\Bigint dV \epsilon_{ijk}\delta x_j\delta u_k$
になる。ここで、相対速度に速度勾配とかの関係を入れると、
   $\delta A_i=\rho\Bigint dV\epsilon_{ijk}\delta x_j(e_{kl}+\Omega_{kl})\delta x_l\\ \epsilon_{ijk}\delta x_je_{kl}\delta x_l=\epsilon_{ijk}e_{kl}\delta x_j\delta x_l \\ \epsilon_{ijk}\delta x_j\Omega_{kl}=\epsilon_{ijk}\delta x_j\left(-\frac{1}{2}\epsilon_{klm}\omega_m\delta x_l\right)$
ここでテンソル解析の公式*3から、
   $\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$
から、
   $\delta A_i\sim\epsilon_{ijk}e_{kl}I_{jl}-\frac{1}{2}(\delta_{im}I_{jl}-I_{im})\omega_m$
ここで、Iは慣性モーメントで、
   $I_{ij}=dx_idx_j$
もし、物体が回転対称なら、I=0で回転しないのがこれで証明できるらしい。難しいっすね。明日は循環と渦度。かな?っつーか雨だけど、明日は練習あるのかね?