循環とか、等渦度面の存在命題とか - Sλの日記 --うつろな日々--

循環Γは、流れの中で適当に引いた閉じた線についての流速の線積分で定義的で、それにStokesの定理を使うと、循環が渦度の法線方向への流束だということが分かる。これはお絵書きしないと分かんないっすねー。
   $\Gamma =\oint d\vec{s}\cdot\vec{u}=\Bigint dS\text{rot}\vec{\omega}\cdot\vec{n}$
その次に、等渦度面の存在命題の証明*1をする。
最初に、渦度はコンパクト空間内で収束しないといけないというのがあったけれど、その話はいったん忘れる。収束しないでも良いらしい。っつーか得点を奥という乱暴な方法で回避できそうな悪寒。
まあそれも与太話で置いといて、有限区間内で、有限の値を持つ渦度があるとしよう。その渦について、循環が同じっていう条件から、Stokesの流れ関数を出すときみたいに渦度一定の線が引ける。これが渦線。らしい。これは、流れ関数と同じように、
   $\frac{dx}{\omega_x}=\frac{dy}{\omega_y}=\frac{dz}{\omega_z}$
を満たす。
そして、その線の外側に、そのときの循環とは異なるけど、やっぱりΓ=Const.の面ができる。それは渦線を取り巻く円筒状になってる。バームクーヘンみたいな感じ。っつーことで、そいつは渦管。で、渦管上では渦度の法線成分は0。そりゃあ渦度の定義からそうなる。
渦管の横断面1と面2があったとして、そのときの循環の差は、
   $\oint_{S_1} d\vec{s}\cdot\vec{u}-\oint_{A_2}d\vec{s}\cdot\vec{u}=\Bigint dV \text{div}\vec{\omega}$
になる。上の式の変形は、まあ学部一年でやるかも。
で、今、渦度はrotで定義されているものなので、上の値は0になる。っつーことで、上の式からある決まった循環の値を取る閉曲面がずらーっとどこかに並んでるかも知れないねということが分かる。閉曲面がずらーっと鉛直に並ぶってことは、円筒がどこ化に存在することになる。
円筒は中身が詰まってようが空っぽだろーがどーでもいいから、管っていうことにすると、それが渦管。
これが等渦度面の存在命題。等渦度面っていうよりは、渦管の存在命題の証明といった方が良いかも知れない。まあPIVやってる人が等渦度面とか可視化したのを見せてくれるけど、綺麗ですよね。うちらにはそんな技術は無いですけど。
因みに、等渦度面と鉛直な方向に流れ場があります。これは渦度の定義rotu=ωから当然といえば当然。ということで、明日は渦度方程式。

*1:工学屋さんに存在命題とかいっても、(゜Д゜)ハァってなもんだが、たまにやると楽しい。