渦度方程式と渦の不生不滅

運動方程式と、質量保存則から渦の運動についての方程式が出てくる。これまではずーっと質量保存から議論してきたが、これからは力学が入るっす。
渦度方程式の導出は簡単で、運動方程式にrot掛けるだけ。テンソル解析でやるのも悪くは無いが、公式思い出すのが面倒なので、ベクトル解析で、
  \text{rot}\left(\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{u}\right) =-\frac{1}{\rho}\text{rot}\text{grad}p
ここで暗黙のうちに非圧縮を仮定している。
また、ベクトル解析の公式、
  \text{grad}\left(\frac{1}{2}u^2\right)= \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\vec{u}\times\nabla\times\vec{u}\\ \nabla\times(\vec{a}\times\vec{b})= \vec{a}\nabla\cdot\vec{b}-\vec{b}\nabla\cdot\vec{a} -\vec{a}\cdot\nabla\vec{b}+\vec{b}\cdot\nabla\vec{a}
から、
  \text{rot}(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{u}= \text{rot}\left\{\text{grad}\left(\frac{1}{2}u^2\right)-\vec{u}\times\vec{\omega}\right\}\\ =-\text{rot}(\vec{u}\times\vec{\omega})\\ =-(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{\omega}+(\vec{\omega}\cdot\text{grad})\vec{u}
になって、これを元に戻すと、
  \frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{\omega}=(\vec{\omega}\cdot\text{grad})\vec{u}
になる。これが渦についての運動方程式で、渦度方程式。
これをobserver dependentな系で書くと、
  \frac{d\vec{\omega}}{dt}=\vec{\omega}\cdot\text{grad}\vec{u}
っていう渦度の時間発展についての常微分方程式になる。
ここで座標系を流体要素の軌跡にしてもこの形は変化しない*1ので、上の式はある流線上の渦度の時間発展とも考えられる。
そのとき、初期値として渦度が0で与えられてて、速度勾配が連続的に変化する場合は、渦度はずーっと0になる*2。また、なにか渦度が与えられていれば、それが無くなることもない。
ということで、上の式が、「渦の不生不滅」の証明らしい。この変は少し自信がないっす。

*1:場所と軌跡の内積から座標変換を定義すると同じ表式が得られるのが分かる。

*2:所謂、「自明な解」をもつ。