運動方程式と、質量保存則から渦の運動についての方程式が出てくる。これまではずーっと質量保存から議論してきたが、これからは力学が入るっす。
渦度方程式の導出は簡単で、運動方程式にrot掛けるだけ。テンソル解析でやるのも悪くは無いが、公式思い出すのが面倒なので、ベクトル解析で、
ここで暗黙のうちに非圧縮を仮定している。
また、ベクトル解析の公式、
から、
になって、これを元に戻すと、
になる。これが渦についての運動方程式で、渦度方程式。
これをobserver dependentな系で書くと、
っていう渦度の時間発展についての常微分方程式になる。
ここで座標系を流体要素の軌跡にしてもこの形は変化しない*1ので、上の式はある流線上の渦度の時間発展とも考えられる。
そのとき、初期値として渦度が0で与えられてて、速度勾配が連続的に変化する場合は、渦度はずーっと0になる*2。また、なにか渦度が与えられていれば、それが無くなることもない。
ということで、上の式が、「渦の不生不滅」の証明らしい。この変は少し自信がないっす。