直交座標系から極座標系への二次の微分形式を変換する作業

渦

ずーっと前に一次のをやってて、その変換は、
  \frac{\partial}{\partial x}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\\ \frac{\partial}{\partial y}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}
で、これの二次形式はまあxとx、yとyの組合せだけ考える(今はこれしか必要じゃないから)。
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}=\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\\ =\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} -\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r} +\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}
になる。ここでそれぞれの項を考える。こういうのをやると可換群がとてもあり難く見える。でもこういうのもたまには良い。与太話は置いといて、
  \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} =-\frac{\cos\theta\sin\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}
  \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}= -\frac{\sin^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}
  \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}= \frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{\cos\theta\sin\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
になって、上を全部足すと、
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}= \cos^2\frac{\partial^2}{\partial r^2} -\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta} +\frac{\sin^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} +\frac{\sin^2\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}
になる。yについてはまあ同じ計算をするんだが、結論だけ書くと、
  \frac{\partial^2}{\partial y^2}= \sin^2\frac{\partial^2}{\partial r^2} +\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta} +\frac{\cos^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} +\frac{\cos^2\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} -\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}
になる。
昔はこんなの一日掛かりで暇潰しにやっても出来なかったよ。それに比べれば腕力ついたもんだ。あとは整理して計算する癖か。最初に小の変換をやらされたのは学部の2年のときで、そのときは二次のところまでは行き着けなかった。一次のところで一杯一杯だった。そして、数年ごとに必要に駆られてこれを使うんだが、ここまで真面目にやったのは初めてかもしれない。まー全然必要ない計算なんだけどな。
そしてたしか一般化座標を使って計算するとこんな長居計算にはならなかった気がする。解析力学の教科書も後で参考にしてみよう。