Frenetの標構e1に対して直交するのをe2とする。
その二つの単位ベクトルに対して、
っていう関係が成り立って、これをFrenet-Serretの公式と言うらしい。で、ここでκが曲率円周。で、上の公式の証明をする。n
最初に、e12をsで微分する。
ここで、e1は単位ベクトルなので、その微分は0になるので、
e1とe2が直交するという性質から、上の関係がなりたつ。同じようにe22をsで微分すると、
になる。
最後に、e1e2を微分すると、
より、微分係数が決まり、上のFrenet-Serretの公式が成立する。
また、κについて、eを偏角θにより、
とすると、
ここで、
より、1/κが曲率半径であることが分かる。
っつーかこれらの一連の流れが激しく美しいです。すげー。やっぱ数学は良いっすね。