曲率半径

Frenetの標構e1に対して直交するのをe2とする。
その二つの単位ベクトルに対して、
  \frac{d}{ds}\left(\array{\vec{e}_1(s) \\ \vec{e}_2(s)}\right)= \left(\array{0 & \kappa (s) \\ -\kappa (s) & 0}\right) \left(\array{\vec{e}_1(s) \\ \vec{e}_2(s)}\right)
っていう関係が成り立って、これをFrenet-Serretの公式と言うらしい。で、ここでκが曲率円周。で、上の公式の証明をする。n
最初に、e12をsで微分する。
  \frac{d}{ds}(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1) =\vec{e}_1\frac{d\vec{e}_1}{ds}
ここで、e1は単位ベクトルなので、その微分は0になるので、
  \vec{e}_1\frac{d\vec{e}_1}{ds}=0\\ \frac{d\vec{e}_1}{ds}=\kappa\vec{e}_2
e1とe2が直交するという性質から、上の関係がなりたつ。同じようにe22をsで微分すると、
  \frac{d\vec{e}_2}{ds}=\lambda \vec{e}_1
になる。
最後に、e1e2を微分すると、
  \frac{d}{ds}(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)= \frac{d\vec{e}_1}{ds}\vec{e}_2+\frac{d\vec{e}_2}{ds}\vec{e}_1\\ \kappa\vec{e}_2^2+\lambda\vec{e}_1^2=0\\ \kappa+\lambda=0
より、微分係数が決まり、上のFrenet-Serretの公式が成立する。
また、κについて、eを偏角θにより、
  \vec{e}_1=\left(\array{\cos\theta\\ \sin\theta}\right)\\ \vec{e}_2=\left(\array{-\sin\theta\\ \cos\theta}\right)
とすると、
  \frac{d\vec{e}_1}{d\theta}=\vec{e}_2\\ \frac{d\vec{e}_1}{ds}=\frac{d\vec{e}_1}{d\theta}\frac{d\theta}{ds}\\ \vec{e}_2=\kappa\vec{e}_2\frac{d\theta}{ds}\\ \kappa=\frac{d\theta}{ds}
ここで、
  \kappa ds=d\theta \\ \frac{d\theta}{\kappa}=ds
より、1/κが曲率半径であることが分かる。
っつーかこれらの一連の流れが激しく美しいです。すげー。やっぱ数学は良いっすね。