曲面S上の点Pで互いに一次独立な接ベクトルと、法線ベクトルで、曲面Sをぶっちぎる曲線を書くことが出来る。ここで、接ベクトルによるベクトルを、
とする。
で、この曲線を、
とする。
曲線を弧長で特徴づけるとき、上の曲面を切断して出来る曲線の曲率は、Frenet-Serretの公式から、
として決められる。
ここで、κは、単位法線ベクトルを掛けることで焙り出せて、
になって、曲率を扱う第二基本形式を使うと、
単位接ベクトルxsについて、
より、xについての微分係数は、
になる。
以上から、接ベクトルの絶対値は、第一基本形式より、
になる。
これらから、曲率は第一基本形式と第二基本形式から、
になる。
ここで、上の式の分母と分子は、ξとηについての同次式なので、κが定数とすると、互いに独立に振る舞う。また、上の式を変形すると、
となる。
これは、固有方程式|H-κG|=0と同値。で、この固有方程式を解くことで曲率を求めることが出来る。今、固有方程式は二次形式なので、曲率は二つの解を持ち、それぞれが最大最小を取ることが分かる。
ここで、繁雑な計算をすると、曲率は解として、
になって、
と定義して、それぞれGauss曲率と、平均曲率と呼ぶ。また、κはそれぞれ主曲率。
あー、なんか段々自分のやってることと近くなって来たよ。いい感じだ。