曲面の曲率

曲面S上の点Pで互いに一次独立な接ベクトルと、法線ベクトルで、曲面Sをぶっちぎる曲線を書くことが出来る。ここで、接ベクトルによるベクトルを、
  \xi\vec{x}_u+\eta\vec{x}_v
とする。
で、この曲線を、
  \Gamma_{\xi,\eta}=\vec{x}(u(t),v(t))
とする。
曲線を弧長で特徴づけるとき、上の曲面を切断して出来る曲線の曲率は、Frenet-Serretの公式から、
  \frac{d\vec{e}_1}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{d\vec{x}}{ds}\right)=\kappa\vec{e}_2
として決められる。
ここで、κは、単位法線ベクトルを掛けることで焙り出せて、
  \kappa=\frac{d^2\vec{x}}{ds}\cdot\vec{n}\\ \frac{d}{ds}\left(u_s\vec{x}_u+v_s\vec{x}_v\right)\cdot\vec{n}\\ =(\vec{x}_{uu}u_s^2+2\vec{x}_u\cdot\vec{x}_vu_sv_s+\vec{x}_{vv}v_s^2)
になって、曲率を扱う第二基本形式を使うと、
  \kappa=h_{uu}u_s^2+2h_{uv}u_sv_s+h_{vv}v_s^2
単位接ベクトルxsについて、
  \frac{d\vec{x}}{ds}=u_s\vec{x}_u+v_s\vec{x}_v\\= \frac{\xi\vec{x}_u-\eta\vec{x}_v}{|\xi^2\vec{x}_u+\eta\vec{x}_v|
より、xについての微分係数は、
  u_s=\frac{\xi}{|\xi^2\vec{x}_u+\eta\vec{x}_v|} \\ v_s=\frac{\eta}{|\xi^2\vec{x}_u+\eta\vec{x}_v|}
になる。
以上から、接ベクトルの絶対値は、第一基本形式より、
  |\xi^2\vec{x}_u+\eta\vec{x}_v|^2=\xi^2g_{uu}+2\xi\eta g_{uv}+\eta^2g_{vv}
になる。
これらから、曲率は第一基本形式と第二基本形式から、
  \kappa=h_{uu}u_s^2+2h_{uv}u_sv_s+h_{vv}v_s^2\\ =\frac{h_{uu}\xi^2+f2h_{uv}\xi\eta+h_{vv}\eta^2}{|\xi^2\vec{x}_u+\eta\vec{x}_v|}\\ =\frac{h_{uu}\xi^2+f2h_{uv}\xi\eta+h_{vv}\eta^2}{\xi^2g_{uu}+2\xi\eta g_{uv}+\eta^2g_{vv}}
になる。
ここで、上の式の分母と分子は、ξとηについての同次式なので、κが定数とすると、互いに独立に振る舞う。また、上の式を変形すると、
  \kappa =\frac{h_{uu}\xi^2+f2h_{uv}\xi\eta+h_{vv}\eta^2}{\xi^2g_{uu}+2\xi\eta g_{uv}+\eta^2g_{vv}}\\ h_{uu}\xi^2+f2h_{uv}\xi\eta+h_{vv}\eta^2-\kappa(\xi^2g_{uu}+2\xi\eta g_{uv}+\eta^2g_{vv})=0
となる。
これは、固有方程式|H-κG|=0と同値。で、この固有方程式を解くことで曲率を求めることが出来る。今、固有方程式は二次形式なので、曲率は二つの解を持ち、それぞれが最大最小を取ることが分かる。
ここで、繁雑な計算をすると、曲率は解として、
  \kappa_1+\kappa_2=\frac{h_{uu}g_{vv}+h_{vv}g_{uu}-2g_{uv}h_{uv}}{2(g_{uu}g{vv}-g^2_{uv}} \\\kappa_1\kappa_2=\frac{g_{uu}g_{vv}-g_{uv}^2}{h_{uu}h_{vv}-h_{uv}^2}
になって、
  K=\kappa_1\kappa_2 \\ H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}
と定義して、それぞれGauss曲率と、平均曲率と呼ぶ。また、κはそれぞれ主曲率。
あー、なんか段々自分のやってることと近くなって来たよ。いい感じだ。