測地線

微分幾何

一応微分幾何の初歩は分かったので、取り敢えずこのカテゴリの更新はこれで一時停止する。
曲面上の線を、弧長で特徴づけると、
  \Gamma :\vec{x}(s)=\vec{x}(u(s),v(s))
になって、この曲率は、
  \kappa_n=\frac{d^2\vec{x}}{ds^2}
になる。
これを更に一般的に書くと、曲面上の線上の点の軌跡について、
  \frac{d^2\vec{x}}{ds^2}=\kappa_n\vec{n}+\vec{\kappa}_g
になる。
ここで、κgは勝手に持ってきた適当なベクトル。実際に意味するところは、曲面上の点の加速度を接平面への射影になる。
上の形式を少し真面目に眺めると、
  \frac{d^2\vec{x}}{ds^2}=\frac{d}{ds}\left(\frac{d u^i}{ds}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}\right)\\ =\frac{d^2u^i}{ds^2}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}+\frac{dv^i}{ds}\frac{du^j}{ds}\left(\Gamma^k_{ij}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^k}+h{ij}\vec{n}\right)
になり、κgは、
  \vec{\kappa}_g=\left(\frac{d^2u^k}{ds^2}+\frac{dv^i}{ds}\frac{du^j}{ds}\Gamma^k_{ij}\right)\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^k}
になる。
ここで、
  \frac{d^2u^k}{ds^2}+\frac{dv^i}{ds}\frac{du^j}{ds}\Gamma^k_{ij}
のとき、(u,v)は曲面上の平面への射影を表す方程式。何かまあ色々あるんだけど、面倒臭いから省くっす。なんつーか、ベクトルの直交性とかを持ち出すと、上のκgっていうのは曲率を求める過程でどっかに消えちゃう量なんである。何か今はそういうものがあるってことしか分からない。