線渦

微分幾何 渦

線渦っていうのは、渦の中心に渦の強さが集中してる渦。渦糸がすげー細くなったようなの。でもって、渦度は
  \vec{\omega}=\Gamma\delta (n)\delta (b)\vec{s}
ここで、n、b、sはそれぞれ主法線方向、従法線方向、接線方向の距離で、sは接線ベクトル、Γは循環。
これをBiot-Savartの法則、
  \vec{u}_v=\oint\frac{\vec{\omega}\times(\vec{x}-\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|^3}dx'
に代入する。このとき渦糸の軌跡が渦糸の長さっつーか弧長sを媒介変数にして、x=R(s)で掛けるとすと、
  \vec{u}_v=\Gamma\oint \frac{\vec{s}\times(\vec{x}-\vec{R})}{|\vec{x}-\vec{R}|^3}
となる。
また、渦糸の場所ベクトルについて、弧長sについて級数展開をすると、
  \vec{R}=\vec{R}|_{s=0}+ \frac{\partial\vec{R}}{\partial s}|_{s=0}s +\frac{1}{2}\frac{\partial^2\vec{R}}{\partial s^2}|_{s=0}s^2+\cdots
になる。ここでRの導関数について、Frenetの表構から、
  \frac{d}{ds}\left(\array{\vec{s}\\\vec{n}\\\vec{b}}\right) =\left(\array{0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & -\tau \\ 0 & \tau & 0}\right) =\left(\array{\vec{s}\\\vec{n}\\\vec{b}}\right)\\ \vec{s}=\frac{\partial\vec{R}}{\partial s}
ここで、κ、τはそれぞれ曲率と捩率。これより、Rは、
  \vec{R}=\vec{s}_0+\frac{1}{2}\kappa\vec{s}_0s+\cdots
になる。
これを上の変形されたBiot-Sacartに代入する。のは明日やる。外積の計算が面倒くさい。
っつーかこの一連の計算を全部諳んじて出来る自分がかなりヤヴァいと思った。でもFrenet-Serretはかなり微妙。