線渦をBiot-Saravtに代入する

渦

今、線渦の形がx=R(s)の形でパラメトリックに与えられている。でもって線渦がまっすぐで、渦のはじまりを原点に取ると、
  \vec{x}\sim\vec{s}
という風に書けて、
  \vec{x}=x\vec{n}+y\vec{b}+z\vec{s}
となる。ここでn, b, sはそれぞれ主法線、従法線、法線方向の単位ベクトル。でもって、今Frenet-Serretの公式から、渦の形が、
  \vec{R}=\vec{s}_0s+\frac{\vec{b}_0}{2\rho_0}s^2+O(s^3)
と書ける。
ここでBiot-Savartは、
  \vec{u}=\frac{\Gamma}{4\pi}\oint\frac{\vec{s}\times(\vec{x}-\vec{R})}{|\vec{x}-\vec{R}|^3}ds
と書ける。このうちのそれぞれの項を書き出してみると、
  \vec{s}\times(\vec{x}-\vec{R}) =\left(\array{0\\0\\s}\right) \times\left(\array{x\\y-\frac{s^2}{2\rho_0}\\-s}\right)\\ =\left(\array{sy-\frac{s^3}{2\rho_0}\\sx\\0}\right)
  |\vec{x}-\vec{R}| =\sqrt{x^2+\left(y-\frac{s^2}{2\rho0})^2+s^2}\\ =\sqrt{x^2+y^2+s^2+O(s^3)}\\\simeq\sqrt{x^2+y^2+s^2}
という風になる。これをまとめて代入するときっと上手いこと行くと思いたい。