良いタグが思いつかなかったんで、力学タグを追加してみた。流体ではないんだよね、微妙に。
昨日寝しなに運動方程式が変分原理から出てくるのはひとえに作用積分を考えるときの被積分関数が速度の2次形式で構成されているからだということを深く納得した。ので、Lagrangeanが速度の自乗に比例するから、それの2次の項の搾り滓が出てくるのでNewtonの運動方程式が出てくるのですねと。
まあEuler-Lagrange自体は被積分関数の形式が何であれ、運動が場所と、時間と、速度で決まるらしいという前提で、運動は作用積分の極値をとるように起こるという理屈から出てくる。
として、これを時間1から時間2まで積分したときにその積分値が極小になる条件がEuler-Lagrange方程式になる。
じゃあ運動は場所と速度で決まるからっていって、速度に対してどういう形態で依存するかというと、運動は等方的だから運動の方向には依存しないだろうとなる。そうすると、Lagrangeanはどうやら運動の絶対値で決まりそうだと考え、
とかなる。
で、そこで、運動はその方向に依存しなければ良いなら速度の絶対値の何乗でも良い訳ですよ。特に上のように速度の絶対値の自乗である必要はないんですよ。なのに何故か、
とかになってて、速度の自乗になってるんですよね。特に自乗である必要もないと思うんだけど、何でそうなんだろう。と思ってLandauの本を読んでみたけど、パッと見詳しくは書いてなかった。別に運動の激しさを決める係数が質量っていうのもそれはそれで良いんだけど、その速度の自乗の所がしっくりこない。また別の文献を探してみようか。まあLagrangeanなんてものは見つけるもんなんだからそんなの気にしなくても良いじゃんとは思うんだけど。
とか思ったら運動方程式の並進変換に対する不変性からこのべき数がきまると書いてあった。確かにそうだ。納得した。素晴らしい。
