波の位相の取りかた - Sλの日記 --うつろな日々--

あるデータというか、関数f(t)があったとして、そのFourier変換されたのa(ω)が分かってたとして、その位相がどうなるかという話です。スペクトルは、|a(ω)|²で表されてて、ここには位相の情報は入ってないけど、FFT掛けた後のから位相を求めることができます。
Fourier変換は、変換*1なので、逆変換してももとに戻ります。ので、関数f(t)が、Fourier級数的な何かで、
   $f(t) = \Bigint_{-\infty}^{\infty}d\omega\hspace{5mm}a(\omega)e^{-2\pi i\omega t},$
で書けたとします。
ここで、FFT掛けて出てきた結果、a(ω)は複素数なので、そのノルムと偏角をそれぞれAとφとすると、
   $a(\omega) = \{A(\omega)e^{i\varphi(\omega)}|A, \omega \in R\},$
になります。
これを逆変換にぶち込むと、
   $f(t) = \Bigint_{-\infty}^{\infty}d\Omega\hspace{5mm}A(\omega)e^{-i(2\pi i\omega t - \varphi)},$
になり、φが位相になってることが分かります。
そういうことで波の位相を求めるには、FFT掛けて、その偏角を求めればいいことが分かりますた。

*1:写像と違うよ。ということです。