反射波があるときの位相速度 - Sλの日記 --うつろな日々--

反射波があるときの位相速度は如何程になるのかというのの遊び。
反射波があるときは、反射波は進行波というか、入射波と逆の方向に進むので、ふたつの波を重ね合わせた波の位相速度を求めれば良いんだっつーことかと。ので、入射波を、Acos(kx-ωt)で、反射波をBcos(kx+ωt)で、合成されてできた波をCcos(kx-ωt+φ)にして、φを位相のずれにしてみる。
そうるると、
   $A\cos (kx-\omega t) + B\sin (kx +\omega t) = C \cos (kx-\omega t+\varphi)$
になって、これをバラすと、
   $\left(A\cos kx +B\cos kx-C\cos\varphi\cos kx + C\sin\varphi\sin kx\right)\cos\omega t \\+ \left(A\sin kx - B\sin kx - C\cos\varphi\sin kx -C\sin\varphi\cos kx\right)\sin \omega t = 0$
になって、これの等号が成立する非自明な条件が、
   $A\cos kx + B\cos kx - C\cos\varphi\cos kx + C\sin\varphi\sin kx = 0$
   $A\sin kx - B\sin kx - C\cos\varphi\sin kx - C\sin\varphi\cos kx = 0$
になって、これがφCについての連立方程式になってるので、φについて解く。すると、
   $\varphi = \arctan \frac{A+B\cos 2kx}{B\sin 2kx}$
になる。
位相速度はdx/dtで、特性曲線ξ=Const.について、
   $\xi = kx - \omega t +\varphi \\ k\frac{dx}{dt} - \omega + \frac{dx}{dt}\frac{d\varphi}{dx}=0$
になるので、
   $c = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k + \frac{d\varphi}{dx}$
になる。
ここで、
   $\frac{d\varphi}{dx} = -2\frac{B^2+AB\cos 2kx}{B^2 + (A+B\cos 2kx)^2}$
になる。よって、平均的には、
   $c\sim \frac{\omega}{k-\frac{B^2}{A^2+B^2}}$
くらいに波速は変わるらしいことが分かる。見かけのだけど。入射波と反射波がまぜこぜになってる波について観測して、それの分散関係を見てもさっぱり分からんちんなこともこういうので位相速度がずれるから起こるらしいと海岸工学の大先生が言っていたなあ。線形分散関係と一致するのはごく限られた周波数のあたりとか、そういう話。あとはその他にも色々とあるんだけど、沿岸部の話は難しいらしいですねと。確かにFourier級数っつーのは異なる位相を持った波がまぜこぜになることはあんまし念頭に置いてないよなあ。難しいっすね、色々と。