Strum-Liouville問題の解が悉く直交関数になる件について

Strum-Liouville問題は、一般的には、
   $\scr{L}=\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x),$
という微分演算子を仮定して、
   $\scr{L}[y]+\lambda w(x)y=0,$
と書ける。
ここでこれは固有値問題の形をしてるので、固有値λはある決まった値を持つらしいことが分かる。そこで、固有値をλ_nとかすると、Strum-Liouville型の方程式は、
   $\scr{L}[y_n]+\lambda_nwy=0,$
とか書ける。
ここで、y_mを左から掛けると、
   $y_m\scr{L}[y_n]+\lambda_nwy_my_n=0,$
になる。
ここで、mとnを入れ替えたのをお互いに引くと、
   $y_m\scr{L}[y_m]-y_n\scr{L}[y_m]=(\lambda_m-\lambda_n)wy_my_n.$
gdgdと計算すると、
   $\frac{d}{dx}\left(y_np\frac{dy_m}{dx}-y_mp\frac{dy_n}{dx}\right)=(\lambda_m-\lambda_n)wy_my_n,$
とかなって、これをxで積分する。Strum-Liouville問題は境界で0をとるので、
   $\Bigint_a^b(\lambda_m-\lambda_n)wy_my_ndx=0,$
となる。
ここで、m≠nのときに、
   $\Bigint_a^bwy_my_n=0,$
になって、解は直交関数になることが分かる。等号が成り立つときはきっと何か適当な値を持つ。