波と流れ

1階の偏微分方程式

一番簡単なものの流れを表すのは移流方程式で、
  \frac{\partial F}{\partial t} + U\frac{\partial F}{\partial x}=0,
で表されて、変数変換、
  \xi=x-Ut,
を施すと、移流方程式は、
  \frac{dF}{d\xi}=0 \hspace{5mm} (\xi=Const.),
で表されて、このときに、
  U=\frac{dx}{dt},
なので、FはU=dx/dtの曲線状で一定とか言うのが特性曲線の理論。このときにこれを流体力学の式で考えると移流方程式なので、1解の偏微分方程式のときは流れ。

2階の偏微分方程式

2階の同次の双曲型の方程式の場合、
  \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} - C^2\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=0,
になって、このときに変数変換を、
  \xi=x-Ct,
  \eta=x+Ct,
とすると、
  \frac{d^2F}{d\xi d\eta}=0,
になって、特性曲線が、
  \frac{dx}{dt}=C \hspace{5mm} (\eta=Const.),
  \frac{dx}{dt}=-C \hspace{5mm} (\eta=Const.),
なんて書ける。
このときは波動方程式をといてるので、dx/dt=C, -Cは波速なんてよばれる。
ただ、結局のところ位相Fは波速Cと-Cで伝播してくということを書いてるぽい。1階の方程式は位相uが流速Uで流れていくことを書いているっぽい。
もちろん1階の方程式のときは流れていく物は質量で、2のときは何かしらの位相なので、流れは1階の偏微分方程式の解というようなことを乱暴に述べることができるのかもしれない。

3階の方程式の場合

もはや流体力学の様式で3階の方程式を書くのはだるいので、Riemann不変量の形で考えることができて、これは波動方程式と移流方程式のちゃんぽんのような形になるのだけど、mimeTeXで数式打つのがだるくなったのでもう風呂入る。