1階偏微分方程式の境界値問題について - Sλの日記 --うつろな日々--

例えば、未知変数をuとして、こんなのを考えてみる。

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ ,
だとしてみる。初期境界条件は、適当に考えてみる。

$u|_{t=0}=W(x)$ ,
$u|_{x=0}=U_0(t)$ ,
$u|_{x=L}=U_L(t)$ ,
これをFourier-Laplace変換してみる。積分核は、

$\scr{L}=\int_0^L dxdt\hspace{5mm}e^{ik(x- ct)}$ ,

なんて考えてみる。
で、境界条件とか考えないで積分核を作用させてみると、

$ik(\tilde{u}+\hat{u})=0$ ,
$\tilde{u}=\scr{L}u$ ,
$\hat{u}=\scr{L}u$ ,
になるわけだけど、境界条件やら初期条件を考えるときは部分積分のところで初期条件と境界条件を使うんだった気がする。
試しに、空間的な変換を試みると、

$\tilde{u}_t+c\int_0^Ldxu_x=0$ ,
$\tilde{u}_t+c\left\{\left[ue^{ikx}\right]_0^L-ik\scr{L}u\right\}=0$ ,
$\tilde{u}_t+c\left\{U_Le^{ikL}-U_0-ik\scr{L}u\right\}=0$ ,
$\tilde{u}_t+c\left\{U_Le^{ikL}-U_0-ik\tilde{u}\right\}=0$ ,
なんてなって大変面倒臭い。これを時間について解けたとすると(時間についての変換をする気がなくなった)、

$\tilde{u}=-\int_0^{\infty}dt\hspace{5mm}c\left\{U_Le^{ikL}-U_0-ik\tilde{u}\right\}$

なんてなる。で、これをまた逆変換するんだろうか。またはeigentropicな問題にここから持ち込めるのか。eigenproblemにするには非同次方程式になるし、積分するにも少々面倒臭いなあ。これだと波動方程式の固有値問題を山行にした方が良いのだろうか。なのでLambの本が欲しい。