ちょっと汗ばむ感じが心地よいです。
今日は練習がある日で、今週末はmoto GP見に行くので土曜日は練習行けないんだが、今週は学会祭りでグタグタなのを態勢を立て直さないといけないんでそれどころじゃないっす。後は、今日は実験装置でも弄ってみようか。
実験装置を改造した。っつーか作り足した。あとは今の解析を別の境界値問題にしてやる。
今日は珍しく真面目に研究をした。
読んでる論文の間違いを発見したんだが、余りに堂々と間違えてるので確信を持つのに時間が掛かった。
まあ勘でこれは違うと分かったんだが、それを証明するのに二日掛かった。アフォだ俺。そんな暇はあるのかと小一時間(ry
多重調和関数
調和関数は△Φ=0を満たす関数だが、多重調和関数というのは、△2Φ=0を満たす関数らしい。というか、△nΦ=0でも良いらしい。
今、二次の多重調和関数、
を考えて、その解を、
とすると、上の方程式は常微分方程式、
になる。
固有値をλとすると、固有方程式は、
になる。
そして、方程式の解は、
になる。が、4階の方程式で、固有方程式が重解を持つので、微分方程式の解の重解を求める。ここで、定数変化法のように解の形を、
とおく。
まんどくせのでcoshのときだけ考えると、uが満たすべき方程式は、
になる。
ここで、この方程式の自明な解として、
が挙げられる。が、解の数は4つな筈で、この場合uはひとつのだけで十分なので、解の一次独立性を考える。ここでWronski行列を考える。
で、z=0でWronskian、Wは0になるので、上の二つは一次従属な解。cosh zとzcosh zについてはWronskianはW=cosh2zになり、0を取らないので任意のzで一次独立になる。
よって、上の方程式の解は、どうやら、
になるらしい。
本当かよって感じだ。まあでもこれが最低限必要なものらしい。十分条件を考える場合は境界条件を考えるんだが、このときはまたWronskianがどーのだけでは話は決まらなくなる。
が、今は一般解だけ考えてるので、これでまあ良いことにする。
因にWronski行列式*1は、
で決まる行列式。