渦点のカオス

まあTAの予習なんっすけどね。複素平面上での渦点の軌跡は、 という形の発展方程式で表される。これを渦点のHamiltonian、 を使うと、 の形になる。 ここでRunge-Kuttaの精度の低いのは、Euler法で、 になる。 一般的に書くと、方程式が、 だったとすると、 …

積分の公式

今積分の作業をしてるんだが、積分公式を使うと、 になるらしい。 これを自力でやろうとすると、変数変換、 とかやってうだうだ計算するらしい。どっちを選ぼうか。取り敢えず今は先に進めなければならないし、車輪の再生産は慎むべきなのでスルーかな。

線渦をBiot-Saravtに代入する

今、線渦の形がx=R(s)の形でパラメトリックに与えられている。でもって線渦がまっすぐで、渦のはじまりを原点に取ると、 という風に書けて、 となる。ここでn, b, sはそれぞれ主法線、従法線、法線方向の単位ベクトル。でもって、今Frenet-Serretの公式から…

線渦

線渦っていうのは、渦の中心に渦の強さが集中してる渦。渦糸がすげー細くなったようなの。でもって、渦度は ここで、n、b、sはそれぞれ主法線方向、従法線方向、接線方向の距離で、sは接線ベクトル、Γは循環。 これをBiot-Savartの法則、 に代入する。このと…

円筒座標系での流れ関数

約半年だか1年前に何でこうなるのかが良く分からなかったことが今日やっと分かるようになったよ。 円筒座標系での流れ関数による流速の表記は、 になるんだが、何で分母にrが入るのかが良く分からなかった。 因みに、計算はベクトルポテンシャルを使ってやる…

渦線

無限大の渦度がある線上に集中して、その線周りの循環は一定の渦を渦線というらしい。ここで渦度の表式は、 ここで、s, n, bは渦線を囲む曲線の接線、主法線、従法線ベクトル。これをBiot-Savartの公式、 に代入する。 Delta関数の性質から、 になる。

渦層

渦層は英語でvortex sheetsらしい。流速の不連続面のことらしい。そこでの渦度は、 でかける。ここでnは不連続面からの距離。 で、この不連続面上での渦度の挙動を調べる。面Sに対して、点Pから面S上の点Qに点Pが近付くときの、渦層によって誘起される流速を…

積分出来ねーー

今問題にしてるのは、 で、これが積分できねー。マジムカツク。 明日はちょっと早目なんで、もう寝るっす。

積分したい

あー、積分できそうで、積分できないのがすげー腹立つ。 なんだけどね。何か積分できそうな気がするんだが、積分できないっす。公式集でも見てみるか。 別の教科書見たら、 が出てた。 これで積分できる。ということで、1週間止まってたものがやっとまた先に…

Hillの渦

あー最近暑くて脳味噌が冴えません。取り敢えず今読んでる旋回流の不安定の論文はあんまし面白くないので、それは止めておいて、渦の勉強をしてる。 Hillの渦の解を出すんだが、 を解くときに、この解がf(r)cos2θになるのが分からん。 結構良い線行ってるん…

直交座標系から極座標系への二次の微分形式を変換する作業

ずーっと前に一次のをやってて、その変換は、 で、これの二次形式はまあxとx、yとyの組合せだけ考える(今はこれしか必要じゃないから)。 になる。ここでそれぞれの項を考える。こういうのをやると可換群がとてもあり難く見える。でもこういうのもたまには良…

直交座標系から極座標系への微分演算子の変換

なんつーか、Hillの渦の解を求めるためだけのために壮大なる回り道をしてるわけだ。本当はこんなもん数学項式集からちょろまかしてくればいいんだけどな。 っつーことで、(r,z)から(ρ,θ)ヘの変換を考える。 から、 を計算する。 から、 になる。次に、θの方…

Hillの渦の解を求めるときの指針

Hillの渦は、 で決められる渦だが、この方程式は円筒座標系で定義されているようで、実は(r,z)っていうのは直交座標系である。直交座標系で円上で規定される境界条件を当てはめるのはすげー難しいので、(r,z)を極座標に変換して、そこで解を求める。 (r,z)の…

Hillの球形渦

(r,z)方向に半径aの範囲内だけ渦度がある渦。今井先生の本にはちゃんと解まで載っている。がしかし、ここは微分方程式を自分で解かないと面白くない。ということで、解くわけだ。 条件として、渦度が、半径aの中では有限の値をとって、その外では0なので、 …

Rankin渦

これってRankinの卵型とは別です。 まあお風呂の栓を抜いたときに出来るような渦。のことらすぃ。 このとき流れ場が、軸対称で、円筒座標系で書かれてて、r方向にも、z方向にも流れが無く、渦の中心から距離aのところで渦の場がジャンプすると仮定すると、そ…

不連続な渦

不連続な渦があっても良いとしよう。ということで、渦について不連続なときのことを考える。今は、納得行かないところが多々あるので、二次元の流れ場を考える。 最初に渦の場の平行な方向に不連続面があったとする。そして、不連続面の片っぽにs0があって、…

Bernoulli*2の定理

運動方程式を、ベクトル解析の公式に従って変形する。 ここでKelvinの渦定理を導いたときのように流線上での話にする。また、流跡線*1と流線が一致してると嬉しいので、定常状態を考える。 ここで両辺にdsを掛ける。あと、外力を何かの勾配で定義できるもの…

Kelvinの循環定理

流れの中にある閉曲線を作る。その閉曲線は流れの影響を受けて変形するとする。そうすると積分経路が時間的に変化することになる。 ここで線素dsについて、sは閉曲線の座標なので、直交座標とは、 という関係を持つ。 これを頭の片隅にいれつつ、上の循環を…

ちょっとお疲れ

早起きすると疲れる。っつーか疲れた。 っつーことで、今日は流しで。研究についての論文をちょっと探したんだが、やっぱ俺の探してる解について扱ってる文献は少なかった。 量子力学の方じゃあGinzburg-Landau形のLagrangeanから非線型Schrodingerを出して…

渦度方程式と渦の不生不滅

運動方程式と、質量保存則から渦の運動についての方程式が出てくる。これまではずーっと質量保存から議論してきたが、これからは力学が入るっす。 渦度方程式の導出は簡単で、運動方程式にrot掛けるだけ。テンソル解析でやるのも悪くは無いが、公式思い出す…

循環とか、等渦度面の存在命題とか

循環Γは、流れの中で適当に引いた閉じた線についての流速の線積分で定義的で、それにStokesの定理を使うと、循環が渦度の法線方向への流束だということが分かる。これはお絵書きしないと分かんないっすねー。 その次に、等渦度面の存在命題の証明*1をする。 …

渦度とrotation

前は質量保存の範疇での渦度の解についての議論だったが、これはLaplace方程式の開空間の部分空間らしいっていうので終わった。色々な制約はあるものの、結局は調和関数のお話になって、俺はそのへんはあんまし詳しくないので、パス。でもそのうちやるけどな…

始めました

こないだのゼミでボスにコテンパンにされたので、やり返すために取り敢えず渦の運動の基礎的なところを勉強してみる。確かに奴にはMathematicaがインストールされているが、どうにかすれば勝てるかも知れない。 渦度と流速の逆変換が可能な条件は、 流速場が…