Bernoulli*2の定理

渦

運動方程式を、ベクトル解析の公式に従って変形する。
  \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{u}+\frac{1}{\rho}\text{grad}p-\vec{F}=0\\ =\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\text{grad}\left(\frac{1}{2}u^2+\frac{p}{\rho}\right)+\vec{u}\times\vec{\omega}=\vec{F}
ここでKelvinの渦定理を導いたときのように流線上での話にする。また、流跡線*1と流線が一致してると嬉しいので、定常状態を考える。
  d\vec{s}\cdot\text{grad}= d\vec{s}\frac{\partial\vec{x}}{\partial s}\cdot\frac{\partial}{\partial\vec{x}}\\ =ds\frac{\partial}{\partial s}
ここで両辺にdsを掛ける。あと、外力を何かの勾配で定義できるものとすると、
  d\vec{s}\cdot\text{grad}\left(\frac{1}{2}u^2+\frac{p}{\rho}+V\right) =d\vec{s}\cdot\vec{v}\times\vec{\omega}
この積分は簡単に出来て、また、uとωの外積を何かの勾配として、
  \text{grad}H=\vec{u}\times\vec{\omega}
とすると、
  \frac{1}{2}u^2+\frac{p}{\rho}+V=H
になる。ここでHはBernoulli定数。渦無しのときにはH=0になってどこでも賢でも上のエネルギーについての方程式は成り立つ。あと、Vは重力にしてghとかを入れておくのが多い。

*1:トレーサの軌跡です。トレーサの軌跡と流線は非定常だと違います。流線は流速ベクトルと平行な線ですが、必ずしもトレーサ粒子の軌跡が流速と平行になるとは限りません。