円筒座標系での流れ関数 - Sλの日記 --うつろな日々--

約半年だか1年前に何でこうなるのかが良く分からなかったことが今日やっと分かるようになったよ。
円筒座標系での流れ関数による流速の表記は、
   $\vec{u}=\left(\array{-\frac{\partial\Psi}{r\partial z} \\ u_{\theta} \\ \frac{\partial\Psi}{r\partial r}}\right)$
になるんだが、何で分母にrが入るのかが良く分からなかった。
因みに、計算はベクトルポテンシャルを使ってやる。っつーかCauchy-Riemannからは無理っす。ということで、非圧縮から、u=rotAという形でベクトルポテンシャルAが定義できる。これを成分表記してみると、
   $\text{rot}\vec{A}=\det|(\vec{e}\oplus\nabla\oplus\vec{A})^t| \\=\frac{1}{r}\left|\array{\vec{e}_r & r\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{r\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_r & rA_{\theta} & A_z}\right|$
なのだが、今、軸対称な旋回流があることを仮定して、方位各方向の流速の変化は考えないとすると、
   $\text{rot}\vec{A}=\det|(\vec{e}\oplus\nabla\oplus\vec{A})^t| \\=\frac{1}{r}\left|\array{\vec{e}_r & r\vec{e}_{\theta} & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial r} & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_r & rA_{\theta} & A_z}\right|\\ =\left(\array{-\frac{\partial rA_{\theta}}{r\partial z} \\ \frac{\partial A_z}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial z} \\ \frac{\partial rA_{\theta}}{\partial r}}\right) \\ \equiv\left(\array{-\frac{\partial\Psi}{r\partial z} \\ u_{\theta} \\ \frac{\partial\Psi}{r\partial r}\right)$
になる。
これでまあ何となく一件落着な感じなのだが、この形式は実は軸対称な場合の表式なので、これに基づいて定式化された方程式からは当然非軸対称な場合の解は出てこない。がしかし、摂動法を使えばもしかしたら微小新福の場合の解が出てくるかも知れない。やってみないとわからない。