えーとですね、微分幾何的には、主曲率っていうのは第一基本形式と第二基本形式の比で決まるのです。確かそうだったきがする。所詮数学科でない俺の知識なぞこんなもの。でもって、それとベクトル解析の公式を結びつけるのがあるんだけど、それの証明がどう…

線渦っていうのは、渦の中心に渦の強さが集中してる渦。渦糸がすげー細くなったようなの。でもって、渦度は ここで、n、b、sはそれぞれ主法線方向、従法線方向、接線方向の距離で、sは接線ベクトル、Γは循環。 これをBiot-Savartの法則、 に代入する。このと…

一応微分幾何の初歩は分かったので、取り敢えずこのカテゴリの更新はこれで一時停止する。 曲面上の線を、弧長で特徴づけると、 になって、この曲率は、 になる。 これを更に一般的に書くと、曲面上の線上の点の軌跡について、 になる。 ここで、κgは勝手に…

曲面Sを、接平面で特徴づけるとして、その接平面の基底を、 とする。点Pでの単位法線ベクトルをnとして、(u,v)への微少変化接線方向ベクトルの微少変化を取って、 で特徴づけられる。 ここで、 となる。ここでΓはCristoffelの記号。これをテンソル解析の記法…

曲面S上の点Pで互いに一次独立な接ベクトルと、法線ベクトルで、曲面Sをぶっちぎる曲線を書くことが出来る。ここで、接ベクトルによるベクトルを、 とする。 で、この曲線を、 とする。 曲線を弧長で特徴づけるとき、上の曲面を切断して出来る曲線の曲率は、…

曲面の曲がり方を考える。 曲面Sについて、その単位法線ベクトルは、接線ベクトルによって、 と定義される。 次に、曲面の高さを決める。曲面の高さ、Fは点P0から、点P0での法線ベクトルに沿ってどこまであるかを考えることで決める。なので、点P0回りでの点…

二つの実数から3次元Euclid空間の部分集合へ一対一写像するとき、その写像Γを曲面という。但し、Γは滑らかで、もとの実数は一次独立。 という風に曲面が定義される。 ここで、曲面上に曲線Sを書くとき、曲線は、 として表される。ここで曲線の接ベクトルは、…

上の話は平面曲線の話だったが、次に空間曲線の話にする。そうすると、曲線に対して二つの独立な法線ベクトルが定義できるようになる。ので、一つ目の法線ベクトルとして、 ここで、κが正の数であるということから法線ベクトルを決める。次に、この法線ベク…

Frenetの標構e1に対して直交するのをe2とする。 その二つの単位ベクトルに対して、 っていう関係が成り立って、これをFrenet-Serretの公式と言うらしい。で、ここでκが曲率円周。で、上の公式の証明をする。n 最初に、e12をsで微分する。 ここで、e1は単位ベ…

ある実数tをベクトル空間に写像するとして、それをxとする。で、この写像が連続写像のとき、写像Γは曲線らしい。ここでxは位置ベクトル。 になる。で、ここで、弧長は線積分で決められる。 実際には微小長さを曲線の軌跡に沿って積分してくので、媒介変数っ…