曲面の構造方程式 - Sλの日記 --うつろな日々--

曲面Sを、接平面で特徴づけるとして、その接平面の基底を、
   $\vec{x}_u(u,v)\\\vec{x}_v(u,v)$
とする。点Pでの単位法線ベクトルをnとして、(u,v)への微少変化接線方向ベクトルの微少変化を取って、
   $\vec{x}_{uu}\\\vec{x}_{uv}\\\vec{x}_{vv}\\\vec{n}_u\\\vec{n}_v$
で特徴づけられる。
ここで、
   $\vec{x}_{uu}=\Gamma^u_{uu}\vec{x}_u+\Gamma^v_{uu}\vec{x}_v+h_{uu}\vec{n},\\ \vdots, \\ \vec{n}=A\vec{x}_u+B\vec{x}_v+Q\vec{n}$
となる。ここでΓはCristoffelの記号。これをテンソル解析の記法を使ってまとめると、
   $\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i\partial u^j}=\Gamma^k_{ij}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^k}+h_{ij}\vec{n}\\ \frac{\partial\vec{n}}{\partial u^i}=C^j_i\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^j}$
になる*1。上の二つの式が曲面を特徴づける方程式*2。ここで、CとCristoffelの記号Γの性質を考える。
今、第一基本形式と第二基本形式もテンソル解析の記法で書くと、
   $g_{ij}=\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}\cdot\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^j}\\ h_{ij}=\frac{\partial^2\vec{x}}{\partial u^i\partial u^j}\cdot\vec{n}$
になる。
Cについて、
   $\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}\cdot\vec{n}=0$
を微分すると、
   $\frac{\partial}{\partial u^j}\left(\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}\cdot\vec{n}\right)=\frac{\partial^2\vec{x}}{\partial u^j\partial u^i}\cdot\vec{n}+\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}\cdot\frac{\partial\vec{n}}{\partial u^j}\\ -\frac{\partial^2\vec{x}}{\partial u^j\partial u^i}\cdot\vec{n}=\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}\cdot C^k_j\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^k}\\ -h_{ij}=C^k_jg_{ik}$
g_ikの逆行列をg^kiとすると、
   $C^k_j=-h_{ij}g^{ki}$
になる。
Γに付いては、上と同じような考察から、
   $\frac{\partial^2\vec{x}}{\partial u^i\partial u^j}=\Gamma^k_{ij}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^k}+h_{ij}\vec{n}\\ \frac{\partial^2\vec{x}}{\partial u^i\partial u^j}\cdot\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^l}=\Gamma^k_{ij}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^k}\cdot\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^l}+h_{ij}\vec{n}\cdot\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^l}\\ =\Gamma^k_{ij}g_{kl}$
上の式の左辺を除去すればΓが出てくるので、第一基本形式についてうだうだと計算をすると、結局、
   $\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)g^{lk}$
になる。最後はもううだうだ。やっぱyaTeXが無いとTeXでドキュメント書く気にならないっす。
結局のところ、曲面は第一基本形式と第二基本形式で書けるっていうのが味噌らしい。