第二基本形式

微分幾何

曲面の曲がり方を考える。
曲面Sについて、その単位法線ベクトルは、接線ベクトルによって、
  \vec{n}=\frac{\vec{x}_u\times\vec{x}_v}{|\vec{x}_u\times\vec{x}_v|}
と定義される。
次に、曲面の高さを決める。曲面の高さ、Fは点P0から、点P0での法線ベクトルに沿ってどこまであるかを考えることで決める。なので、点P0回りでの点Pの高さFは、
  F(u,v)=\{\vec{x}(u,v)-\vec{x}(u_0,v_0)\}\cdot\vec{n}
になる。
ここで、Fの微分について、
  F_u=\frac{d}{du}(\vec{x}-\vec{x}_0)\cdot\vec{n}\\ =\vec{x}_u\cdot\vec{n}\\ =0
で、vについても同じことが言える。なので、Fの点P0周りでのTaylor展開は、
  F(u_0+du,v_0+dv)=\underbrace{F|_{P_0}}_{=0} +\underbrace{F_u|_{P_0}du}_{=0} +\underbrace{F_v|_{P_0}dv}_{=0}+ \frac{1}{2}\left{F_{uu}|_{P_0}du^2+2F_{uv}|_{P_0}dudv+F_{vv}|_{P_0}dv^2\right\}\\ =\frac{1}{2}\left{F_{uu}|_{P_0}du^2+2F_{uv}|_{P_0}dudv+F_{vv}|_{P_0}dv^2\right\}
になる。
これを前と同じように行列のかけ算とか行列式で書けるように、Hess行列を定義する。
  \text{Hess}(u,v)=\left(\array{h_{uu} & h_{uv} \\ h_{vu} & h_{vv}}\right)\\ =\left(\array{\vec{x}_{uu}\cdot\vec{n} & \vec{x}_{uv}\cdot\vec{n} \\ \vec{x}_{vu}\cdot\vec{n} & \vec{x}_{vv}\cdot\vec{n}}\right)
という風に決める。これが第二基本形式らしい。