Frenetの標構

微分幾何

ある実数tをベクトル空間に写像するとして、それをxとする。で、この写像が連続写像のとき、写像Γは曲線らしい。ここでxは位置ベクトル。
  \Gamma :t \longrightarrow \vec{x}(t)\\ \vec{x}(t)=\left(\array{x(t)\\y(t)}\right)
になる。で、ここで、弧長は線積分で決められる。
実際には微小長さを曲線の軌跡に沿って積分してくので、媒介変数っつーか、もとの変数tの微小辺かについて、曲線上の二点間の距離を足してくことになる。
  s(t)=\lim_{dt\to 0} \sum_{n=1}^N |\vec{x}_{t_n}-\vec{x}_{t_{n-1}}|\\ \lim_{dt\to 0} \sum_{n=1}^N sqrt{(x_{t_n}-x_t_{n-1})^2+(y_{t_n}-y_t_{n-1})^2}\\ =\Bigint_a^{\infty}\sqrt{x_t^2+y_t^2}dt
次に、弧長sをもとの変数tで微分すると、
  \frac{ds}{dt}=\sqrt{x_t^2+y_t^2}
これを使って場所xを弧長で微分したものを考える。dx/dtは曲線の接線方向ベクトルだが、dx/dsは上の式を用いて、
  \left|\frac{d\vec{x}}{ds}\right|= \left|\frac{d\vec{x}}{dt}\right|\frac{dt}{ds}\\ =\frac{|\vec{x}_t|}{\sqrt{x_t^2+y_t^2}}=1
になり、
  \frac{d\vec{x}}{ds}=\vec{e}1
のeは単位ベクトルで、接線方向を向いてることが分かる。これをFrenetの標構というらしい。