ちょっとお疲れ

渦

早起きすると疲れる。っつーか疲れた。
っつーことで、今日は流しで。研究についての論文をちょっと探したんだが、やっぱ俺の探してる解について扱ってる文献は少なかった。
量子力学の方じゃあGinzburg-Landau形のLagrangeanから非線型Schrodingerを出して、それから変形KdVに話を持ってって、最終的に一般的なソリトン解を出して元に戻すのがちょくちょく見受けられるが、これも俺の探してるものとは違う。明日はトポロジーの方でも漁ってみるかね。
そんな与太話はどうでも良くて、渦の話を。
風呂場の栓を抜くと、渦が出来て、渦の真中にある水は動いてないっつーか、渦の回転中心から外れないように見えるが、これは事実で、渦線上の粒子は渦線に沿って移動する。
今、渦線上の粒子の軌跡をsとして、その線素をdsとすると、軌跡Xと粒子の移動した道のりσに対して、適当な微小量εを使って、
  d\vec{s}=\epsilon\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}
と決められる。
これと流速の関係はdsを時間微分すると得られる。
  \frac{d}{dt}\epsilon\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}= \epsilon\frac{\partial}{\partial\sigma}\frac{d\vec{X}}{dt}\\ =\epsilon\frac{\partial}{\partial\sigma}\vec{u}(\vec{x},t)\\ =\epsilon\frac{\partial\vec{u}}{\partial\sigma}\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\\ =\epsilon\frac{\partial\vec{u}}{\partial\sigma}d\vec{s}
になる。
ここで上の下の段は粒子の軌跡上での速度勾配を意味して、grad uと書けて、また、これを渦度方程式からさっ引くと、
  \frac{d}{dt}\left(\vec{\omega}-\epsilon d\vec{s}\right)= \left(\vec{\omega}-\epsilon d\vec{s})\cdot\text{grad}\vec{u}
になる。
この方程式を満たすのは、
  \vec{\omega}\sim d\vec{s}
で、これから渦度と粒子の軌跡が平行なことが分かる。