渦点のカオス

渦 数値計算

まあTAの予習なんっすけどね。複素平面上での渦点の軌跡は、
  \frac{\partial\bar{z}_{\alpha}}{\partial t} =\frac{1}{2\pi i}\sum_{\alpha\not=\beta}\frac{\kappa_{\beta}}{z_{\alpha}-z_{\beta}
という形の発展方程式で表される。これを渦点のHamiltonian、
  H(z,t)=-\frac{1}{4\pi}\sum_{\alpha\not=\beta} \kappa_{\alpha}\kappa_{\beta}\log|z_{\alpha}-z_{\beta}|
を使うと、
  \kappa_{\alpha}\frac{\partial y_{\alpha}}{\partial t} =\frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}}\\ \kappa_{\beta}\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}}
の形になる。
ここでRunge-Kuttaの精度の低いのは、Euler法で、
  dx=\frac{1}{\kappa}\frac{\partial H}{\partial x}dt
になる。
一般的に書くと、方程式が、
  \frac{dy}{dx}=f(x,y)
だったとすると、
  dy=f(x,y)dx
になる。よって、
  y(x+dx)=y(x)+f(x,y)dx
になる。
二次精度のときは、Taylor展開の二次までとって、
  y(x+dx)=y(x)+f(x,y)dx+\frac{1}{2}\frac{df(x,y)}{dx}dx^2
になる。