不連続な渦 - Sλの日記 --うつろな日々--

不連続な渦があっても良いとしよう。ということで、渦について不連続なときのことを考える。今は、納得行かないところが多々あるので、二次元の流れ場を考える。
最初に渦の場の平行な方向に不連続面があったとする。そして、不連続面の片っぽにs₀があって、それから面に対して鉛直方向にε行くといつの間にか不連続面を跨いでるとする。そのときの一次の展開は、Heavisideの階段関数を使って、
   $\omega (\vec{s}_0+\vec{\epsilon})=\omega (\vec{s}_0)+\frac{\partial\omega}{\partial s}\epsilon\\ =\omega_0+\sigma \epsilon H(s)$
になる。
これを二次元の渦度方程式に代入すると、
   $\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot\text{grad})\omega=0\\ \epsilon\sigma\frac{d}{dt}H=0$
になる。ここでσは不連続さの大きさで、またHは時空間の変数*1なので、実際に微分を実行すると、合成関数の微分の形になり、
   $\epsilon\sigma\delta (\vec{s}-\vec{s}_0)\frac{d\vec{s}}{dt}=0$
になる。ここでδはDiracのdelta関数。
ここで方程式が常に成り立つには、s=s0のときにs_t=0が成り立ってることなので、
   $\frac{\partial\vec{s}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{s}=0 \hspace{2cm} (\vec{s}=\vec{s}_0)$
になる。

*1:ときと場所ニより不連続面は移流する。