直交座標系から極座標系への微分演算子の変換

なんつーか、Hillの渦の解を求めるためだけのために壮大なる回り道をしてるわけだ。本当はこんなもん数学項式集からちょろまかしてくればいいんだけどな。
っつーことで、(r,z)から(ρ,θ)ヘの変換を考える。
   $r=\rho\cos\theta \\z=\rho\sin\theta \\ r^2+z^2=\rho^2$
から、
   $\frac{\partial}{\partial r}=\frac{\partial\rho}{\partial r}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\theta}{\partial r}\frac{\partial}{\partial\theta}\\ \frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial\rho}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\rho}+ \frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\theta}$
を計算する。
   $r^2+z^2=\rho^2$
から、
   $\frac{\partial\rho}{\partial r}=\frac{r}{\rho}=\cos\theta \\ \frac{\partial\rho}{\partial z}=\frac{z}{\rho}=\sin\theta$
になる。次に、θの方を考える。それぞれrとzについてθと三角関数で結ばれている式をそれぞれrとzで微分する。
   $1=\frac{\partial\rho}{\partial r}\cos\theta-\rho\sin\theta\theta_r\\1-\cos^2\theta=-\rho\sin\theta\theta_r \\\sin^2\theta=-\rho\sin\theta\theta_r \\\frac{\partial\theta}{\partial r}= -\frac{\sin\theta}{\rho}$
同じように、
   $\frac{\partial\theta}{\partial z}=\frac{\cos\theta}{\rho}$
になって、一回の微分演算子については、
   $\frac{\partial}{\partial r}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial\rho}-\frac{\sin\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta} \\ \frac{\partial}{\partial z}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\cos\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta}$
になる。
二回の演算子については、計算が面倒なので、また明日。一応このカテゴリは自分の趣味だからそれなりに時間的な制約を課してるんで。