多重調和関数 - Sλの日記 --うつろな日々--

調和関数は△Φ=0を満たす関数だが、多重調和関数というのは、△²Φ=0を満たす関数らしい。というか、△ⁿΦ=0でも良いらしい。
今、二次の多重調和関数、
   $\triangle^2w=0$
を考えて、その解を、
   $w=\hat{w}(z)\cos (x-y)$
とすると、上の方程式は常微分方程式、
   $\hat{w}_{zzzz}-2\hat{w}_{zz}+\hat{w}=0$
になる。
固有値をλとすると、固有方程式は、
   $\lambda^4-\lambda^2+1=0\\ (\lambda^2-1)^2=0 \\ \lambda=\pm1$
になる。
そして、方程式の解は、
   $\hat{w}=A\cosh z+B\cosh z$
になる。が、4階の方程式で、固有方程式が重解を持つので、微分方程式の解の重解を求める。ここで、定数変化法のように解の形を、
   $\hat{w}=u(z)\cosh z, u(z)\sinh z$
とおく。
まんどくせのでcoshのときだけ考えると、uが満たすべき方程式は、
   $\cosh zu^{(4)}+4\sinh zu^{(3)}+2\cosh zu^{(2)}=0$
になる。
ここで、この方程式の自明な解として、
   $u=x, x^2$
が挙げられる。が、解の数は4つな筈で、この場合uはひとつのだけで十分なので、解の一次独立性を考える。ここでWronski行列を考える。
   $\left|\array{z\cosh z&z^2\cosh z\\ \cosh z+z\sinh z & 2z\cosh z+z^2\sinh z}\right|=z^2\cosh^2z$
で、z=0でWronskian、Wは0になるので、上の二つは一次従属な解。cosh zとzcosh zについてはWronskianはW=cosh²zになり、0を取らないので任意のzで一次独立になる。
よって、上の方程式の解は、どうやら、
   $\hat{w}=A\cosh z+B\sinh z+Cz\cosh z+Dz\cosh z$
になるらしい。
本当かよって感じだ。まあでもこれが最低限必要なものらしい。十分条件を考える場合は境界条件を考えるんだが、このときはまたWronskianがどーのだけでは話は決まらなくなる。
が、今は一般解だけ考えてるので、これでまあ良いことにする。
因にWronski行列式 *1は、
   $W=\left|\array{u & v \\ u_x & v_x}\right|$
で決まる行列式。

*1:Wronski行列式はWronskian