降伏値を持つ流体についてのPoiseuille流れ - Sλの日記 --うつろな日々--

降伏値をもつ流体についてその構成側はBingham流体とすると、
   $\tau_{ik}=\mu\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+\tau_{0,ik}$
で、これを重力を考慮した直交座標系での定常状態での二次元の流体の運動方程式にぶち込むと、
   $\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}=\nu[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}]+\frac{\partial \tau_0}{\partial y} \\ \frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial y}=\nu[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}]+g$
になる。また、連続の式から、
   $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$
で、これらを合わせて解くはずだ。
境界条件は、
   $u(-r)=u(r)=0$
だけでいけるはず。

冷静に考えたらこれで良いのかと思った。
Bingham流体の応力と速度勾配の構成側はどうなってるんだっけか?そして、それを面積積分から体積積分にするのだが、その過程でもしかしたら降伏の項が消えるという噂も...
気が向いたらもう少し真面目に考えてみよう。そもそもこれは昨日の就寝前にちょっとした計算練習のためにやった問題だしな。