Landauの現象論

竹ちゃん

統計力学は確率密度関数というか、何かの分布関数がエネルギー(ハミルトニアンでもいいっす)の指数関数で与えられてて、それはまた温度の関数でもある。
具体的にはBoltzmann factorとかGibbs和として簡単に
  P(H)=e-\beta H
で、このときβは温度の逆数。
これをもとに臨界現象だとか相転移を考えると、相転移っていうのは劇的な変化なのだから状態変化の関数が特異点をもってたりしないといけないんだが、どう考えてもexp(-H/kT)が有限の温度で特異点を持つようなものにすることは出来ない。
ということで、今、磁性体やらなにやらの自由エネルギーを磁化やら秩序変数やらの関数として、
  F(M,T)=A|T-T_c|M^2+\beta M^4
とする。で、T=TC前後でFが極小になる点の数は変わる訳さ。それはまあFをMで微分すると簡単に分かって、
  \frac{\partial F}{\partial M}=2M\{A|T-T_c|+2\beta M^2\}
で、これから
  M=\{0,\pm\frac{\sqrt{A|T-T_c|}}{\beta}|\frac{\partial F}{\partial M}=0\}
で、MがTの-1/2乗に比例する訳で、こういう特異点を持つような関係を解析関数から作り出すことが出来るという話らしい。