波動方程式の円筒座標系での形

流体力学

はBessel方程式になるんだが、その過程は固有値問題みたいな感じ。今波の変位をuとすると、波動方程式は、
  u_{tt}=\frac{1}{c^2}\triangle u
になる。ここで時間について変数分離して、
  u=e^{-i\omega t}v
として波動方程式に代入すると、
  \triangle u=-k^2u\\ \frac{k^2}{\omega^2}=c^2
になる。ここで下の式は波動方程式の分散関係式で、cは波速で、ωは周波数で、kは波数。この形はHelmholtz方程式。この方程式を円筒座標系で書くと、
  \left\{\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+k^2\right\}u=0
になる。ここで、r=kr'と変数変換すると、
  \left\{\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+1\right\}u=0
また、方位角方向成分についても固有値問題から微分演算子を落とすことを考えると、
  u=e^{k_{\theta}\theta}
と置いて、二つ上の方程式に代入する。
  \left\{\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+(1-k_{\theta}^2\)\right\}u=0
になって、これがBessel方程式。