波動方程式の球座標系での形

流体力学

上の小見出から、Helmholtzから始める。
  (\triangle+k^2)u=0
で、半径方向に変位が、
  u\sim r^{-n}
だとすると、球座標のLaplacianが、
  \triangle=\frac{1}{r^2} \left(\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)\\ \equiv\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}+\triangle_s\right)
なので、
  \triangle_su=\{n(n+1)+k^2\}u
になる。これがLegendreの方程式。だけど、一般的にkの項が0になってるもののことを指す。また、この方程式の解はLegendreの多項式とか、球面調和関数とか言ったりする。
何でこんなことウダウダやってるかって、そりゃああるばしょにBessel方程式が出てこないと研究というか、計算を進める上でとっても困るからこんなことをして波動方程式の色んなバリエーションについて調べてる。そして、どこに何がでてくれば良いのか大体把握できた。やっぱノートを見直すと色々と良いことがあったりする。