合流型超幾何級数

数学

何だかすげー名前だけど、幾何級数は、
  f(x)=1+x+x^2+\cdots
で、合流型超幾何級数は、
  F(a,c,x)=\sum_0^{\infty}\frac{(a)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{k!}
で、これは合流型超幾何微分方程式、
  x\frac{d^2f}{dx^2}+(c-x)\frac{df}{dx}-af=0
らしい。で、何か分かりにくいが、この合流型超幾何級数で色んな初等関数が表せるらしい。例えば、a=cのときは、
  F=\sum\frac{x^k}{k!}=e^x
になる。指数関数の微分は常に指数関数っていう性質があるから。ということで、べき級数の性質を使うと色々と出来るっぽい。が、まだ調べてる途中。


上の関数FはKummerの解とかいうらしい。上のKummerのF関数が上の方程式の解であると示すときには、まあ代入するんだが、一応微分の操作でkの番号がずれたりなんとかを考えないと上手く行かない。
KummerのF関数を簡単に、
  F=\sum_0A_k\frac{x^k}{k!}
として、これをxで一回微分すると、
  F_x=\frac{d}{dx}\left(A_0+A_1x+A_2\frac{x^2}{2}+\cdots\right)\\ =A_1+A_2x+A_3\frac{x^2}{2!}+\cdots\\ =\sum_0A_{k+1}x^k
になる。
この辺を真面目に考えると方程式が成り立つことが分かる。それなりに。


それよりもHanckel関数とかBessel関数について考えるのに合流型超幾何級数から始める自分のおたくささにちょっと辟易。