合流型超幾何関数と合流型超幾何方程式 - Sλの日記 --うつろな日々--

合流型超幾何級数は、KummerのF関数で、
   $F(a,c,x)=\left\{1+\frac{c}{a}\frac{x}{1} +\frac{a(a+1)}{c(c+2)}\frac{x^2}{2!}+\cdots+ \frac{a(a+1)\cdots(a+k-1)}{c(c+1)\cdots(c+k+1)}\frac{x^k}{k!}\right\}$
で、これは合流型超幾何方程式、
   $xF_{xx}+(c-x)F_x-aF=0$
の解の一つになる。実際に代入すると確かめられる。というか、この確認の作業は合流型超幾何級数の性質を把握するのに丁度良いかも知れない。
実際には、微分についての規則だけ把握してれば問題ないと思われる。
で、微分すると、
   $\frac{dF}{dx}=\frac{a}{c}F(a+1,c+1,x)$
という漸化式みたいなのになる。この級数の収束性とかの話はまた今度。