泡の極座標系での振動

流体力学

線形解析をする。っつーかこの解析の原論文は1878年で、俺が生まれる100年位前に書かれてたりする。ちょっと本物を見てみたいなあって思って調べたらどうやらうちの大学の図書館にあるっぽい。マジっすかって感じだ。
ちょっと明日見てこよう。
極座標系での速度ポテンシャルの一般解は、
  \phi=A\lef(\frac{r}{a}\right)^n\cos n\theta\cos\sigma t
r=aで、Φt=-ξrで、ξは変位で、この方程式から変位は、
  \xi=-\frac{An}{a\sigma}\cos n\theta\sin\sigma t
で、圧力はBernoulliの定理から、
  p=-A\sigma\cos n\theta\sin\sigma t
になる。
Young-Laplace方程式について、曲率半径は、r=aで、
  \frac{1}{R}=\frac{1}{r}-\frac{1}{r^2}r_{\theta\theta}
で、これをr=a周りで一次の項まで取ると、
  \frac{1}{R}=\frac{1}{a}-\frac{\xi-\xi_{\theta\theta}}{a^2}
になる。
Young-Laplace方程式は、極座標系なので、
  p=\frac{T}{R}+p_0
になって、これに諸々代入して、圧力の無限遠の項は、気泡の平均径の表面張力の項とつり合ってるので、
  \sigma^2=\frac{T}{a^3}n(n^2-1)
になる。