速度ポテンシャルについての波動方程式を少し真面目に解く

波動方程式について、時間について定常な解があるとして、その形をcos(-Ωt)とすると、波動方程式は、
   $\triangle\phi=-\frac{\Omega^2}{c^2}\phi$
ここで、分散関係からきまる波数をνとすると、
   $(\triangle+\nu^2)\phi=0$
また、z方向にcos(kz)の解を持つとすると、
   $\phi_{rr}+\frac{\phi_{r}}r+\frac{\phi_{\theta\theta}}{r^2}+\nu^2\phi=0$
方位角θ方向にcos(nθ)の解を持つとすると、
   $\phi_{rr}+\frac{\phi_r}{r}+\left(\nu^2-\frac{n^2}{r^2}\right)\phi=0$
になる。
これで波動方程式がBessel方程式に似た形になる。あとは波数νでrを無次元化するというか、変数変換すると、算数の教科書に出てくる方程式になる。
   $\nu r=x$
とすると、上の方程式は、
   $\phi_{xx}+\frac{\phi_x}{x}+\left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\phi=0$
になる。
これは一般的なBessel方程式で、解は、
   $\phi=aB_n(x)+bY_n(x)$
になる。
今、nは膜の振動のモードで、整数を取るので、Bessel関数を考えるときは若干簡単になるかもしれない。