円筒座標系の波動方程式の解法 - Sλの日記 --うつろな日々--

最初に長波近似しない場合。
波動方程式の時間についての項をexp(-iΩt)として、色々ゴチャゴチャ計算する。
   $\triangle\phi=\frac{1}{c^2}\phi\\ (\triangle+k^2)\phi=0\\ \phi_{xx}+\frac{\phi_x}{x}+\left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\phi=0$
になって、これの解はBessel関数とNeumann関数の重ね合わせで、
   $\phi=\left\{J_n(x)+iY_n(x)\right\}e^{i(n\theta-\Omega t)$
になる。
これの漸近的な振舞いは、x=0近傍で、
   $\phi=i\left(\frac{x}{2}\right)^n\log\frac{x}{2}e^{i(n\theta-\Omega t)$
になる。

次に、長波近似したとき、
   $\triangle\phi=0\\ \phi_{rr}+\frac{\phi_r}{r}+\frac{\phi_{\theta\theta}}{r^2}=0$
以上より、方位角方向の解をexp(inθ)とすると、n=0のとき、
   $\phi=\log re^{-i\Omega t}$
n≠0のとき、
   $\phi=(ar^n+br^{-n})e^{i(n\theta-\Omega t)}$
になる。

どっちが良いんだろうか。
多分漸近解は余り良い一致はしないし、波数の情報が入って来て面倒だし、長波近似した方の解の方が良い気がするなあ。

普通に波動方程式を上のような長波近似で解いた場合、対数関数がどうしても出てきて仕舞うんだが、これは解の性質として考える分には解くに問題ないはず。x=1になる点をうまいこと回避する境界値を選んでやれば良いから。例えば、普通の膜振動とかの変位を求める場合の境界値の与え方は、u(x=a)=0とかいう感じでいくので。
多分膜振動の解法を踏襲すれば問題は回避できるんじゃまいかと思いたい。微妙だ。