雑談

流体力学

圧縮性流体は密度が変わるのでやりにくいです。普段は水ばっか扱ってるんで、非圧縮なわけですが、圧縮性があると色々と大変です。なんつーか頭の切替えに時間がかかる感じです。普段はおまけ程度に思ってたものが結構重要な約割りを果たすんで。
何か音波の本読んでるんですが、飽きたんで別のことやるっす。結局は解くべきものは円筒座標系での渦度方程式で、それを流れ関数を未知変数にして摂動法を使って解く感じです。なので、最初は渦度方程式に流れ関数をぶち込むところから始めようかと。あとは液膜の論文を読んで、数値計算について考えるとか。
heuristicは典型的とか、近似的とかそういう意味らしいです。Google先生すげーっす。最初は取り敢えず非粘性流れの中の非線型な波動についての勉強をしようかと思います。っつーことでRayleigh方程式かなあと。っつーか時間発展する波とか連続スペクトルの波とか、イメージは出来るんですが、それを数学的に扱うときにどういう風に扱うのかが今一つ分からないです。こんなことで良いのかって感じですが、まあ所詮は外様なので仕方ないっちゃ仕方ない。
ありがちなのは主流が平行流の場合で、その場合、主流は鉛直方向だけの関数になって、
  \vec{u}=U\vec{i}+\vec{u}'
になる。ここでiはx方向の単位ベクトルで、u'が擾乱。
これを非粘性流体の運動方程式に代入して、主流成分を引くと、
  \frac{\partial\vec{u}'}{\partial t}+U\vec{i}\cdot\text{grad}\vec{u}'+\vec{u}'\cdot\text{grad}(U\vec{i})=-\text{grad}p'
になる。
これで線形化されたことになって、左辺の二つの対流項について考えることにする。一つ目について、
  \left(U(z),0,0\right) \left(\array{\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}\right) (u', v', w') \\ =U\frac{\partial\vec{u}'}{\partial x}
二つめについて、
  (u', v', w')\left(\array{\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}\right) (U, 0, 0)=w'\frac{\partial U}{\partial z}\vec{i}
になって、まとめると、
  \frac{\partial\vec{u}'}{\partial t}+U\frac{\partial\vec{u}'}{\partial x}+w'\frac{\partial U}{\partial z}\vec{i}=-\text{grad}p'
になる。で、この方程式はそれぞれの変数の係数がzにしか依存しないので、解の形として、
  \vec{u}'=\vec{\tilde{u}}(z)e^{i(k_xx+k_yy-ik_xc t)}
という形が置ける。ここでcは位相速度で、複素数。現象としては実部だけが反映されるので、実際の見た目の位相速度は、
  \frac{k_xc_r}{\sqrt{k_x^2+k_y^2}}
になる。また、
  -ik_x(c_r+ic_i)=-ik_xc_r+k_xc_i
から、波は、
  e^{k_xcit}
で時間的に減衰していく。で、これの正負で、安定、中立安定、不安定が決まる。