一階の偏微分方程式は、例えば、微分作用素で作られる行列の核*1をuとして、uがつくる曲面の法線ベクトルが、
で与えられてて、おまけの係数が、(a,b,c)とかで与えられてたら、それの直交条件で方程式が与えられてて、
になる。
で、こういう形で微分作用素で作られる行列の核のつくる曲面が決まってるということは、核のつくる曲面の方向は方程式の係数の塊で決まってるという至極分かりやすい話になる訳で、そうすると別に方程式をとかねーでも核の示す様は表せる訳でというのが特性曲線の考え方のようです。
つまり、解空間uの法線ベクトルと係数の塊の作るベクトルは直交してるので、解曲面と係数の塊どもは平行な訳です。とすると、
となって、特性曲線が引けて、これで一般解を求めることが出来るようです。
特性曲線上での弧長をξとして、その上でuの値は変わらず、とかやります。
のが一階の問題なのですが、二階の問題になるとこう上手く行くかというと、どうやら解曲面のあたりの話がもうすこしややこしくなり、偏微分方程式のあたりの話と微分幾何のあたりの話を見る必要が出てくる模様。
まあ何か色々とgdgdとありますが、要するに中学でやる一次関数の、
とかいうのは、
で、この直線の意味する所はx方向に1進もうとするとa倍進んでしまい、y方向に1進むとbだけ進んでしまう状況の中、cの値が変わらないように注意深く歩いて、その道筋を示すという風にも考えられる訳です。
これが直線の場合は簡単な訳ですが、円とか楕円とか球とか双曲線とか、物の軌跡を陰形式でしか完全に洗わせないような場合にはそういう風に考えた方が通りが良い訳です。というか、その方が何だかエレガントな気が最近してきた。必要十分条件を表せるし。
ということで、虚数というのも-1のルートとかでなく、自乗すると-1になる何かとか考えた方が分かりやすいんでないかと。こういう発想は陰形式なので。
あとあれだ、負の数のルートなんてねーよとか言うからみんな混乱するんだよなあと。
最初から虚数解とか教えてれば無為に複素数で算数から落ちこぼれる人も居なくなる訳で。なので中学から複素平面を教えれば良いんだよー。とか思ったもののやっぱ-1と-1を掛けると1になるという数の性質上、虚数というのはどうしてもパラドキシカルなものであるからやっぱり混乱は避けられないのだなあとか思ったりなんかして。
*1:工学部的にいうと解
