積分の公式

数学

メモ
  \frac{\partial}{\partial x}\Bigint_0^xf(x,t)dt=f(x,x)+\Bigint_0^x\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt
メモその2。数学公式集を段ボールの中から発掘するのがダルい。早く元の部屋にもどりたいです。
  \cosh^2x-\sinh^2x=1\\ \cosh 2x=\cosh^2x+\sinh^2x \\ \sinh 2x =2\cosh x\sinh x
メモその3。ラムちゃんったら超不親切。
Fourier変換とFourier逆変換。
  \hat{f}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigint_{-\infty}^{\infty} dx\vspace{5mm}f(x)e^{ikx}\\ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigint_{-\infty}^{\infty} dk\vspace{5mm}\hat{f}(k)e^{-ikx}
これを使った応用。
ある周期波についての解が、
  \phi=e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}
で、スペクトルがF(k)だとすると、この解を全ての周波数についての解に拡張するときには全ての周波数について積分するので、上の公式から、
  \phi=\Bigint_{-\infty}^{\infty}d\omega\hspace{5mm} F(\omega)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\\=F\left(t-\frac{r}{c}\right)
この他にも畳み込み使ってやる手もある。でもそれはちょっとマンドクサイ。そしてこの計算は今やってることとは全く何も関係ない。