Ginzburg-Landau方程式 - Sλの日記 --うつろな日々--

渦度方程式を流れ関数で焼きなおしたのがOrr-Sommerfled方程式、或いはRayleigh方程式だったが、そこでの不安定性を議論するときに不安定性のパラメータμを入れたのがGinzburg-Landau方程式らしい。
で、実際には、
   $$\frac{\partial}{\partial t}+U\frac{\partial}{\partial x}$\psi -\mu\psi-(1+ic)\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=0$
である。Rayleigh方程式は係数が変化するようなウザいだったので解けなかったが、ここでy方向の擾乱の伝達はひとまず置いておいて、x方向への擾乱の移流を考えるようにすると面倒臭い微分方程式を解く手続きがなくなって、取り敢えずは問題を解けた気分になる。
ここでこの方程式は固有値問題なので、分散関係式を求めるにはRaileigh方程式よりもやりやすい。不安定性だけを考えるなら、Rayleigh方程式で議論するよりも、このGinzburg-Landau方程式を考えた方がらくだ。なぜなら分散関係式を出すのが簡単だから。
ということで、この固有方程式は、
   $\omega=Uk+ck^2+i(\mu-k^2)$
である。ここで時間についての不安定性は簡単に議論できる。Ginzburg-Landau方程式はあからさまに指数関数を解に持つので、その自明解を使って
   $\psi=A(t)e^{(\mu-k^2)t}e^{i\{kx-(Uk+ck^2)t\}}$
となり、時間について発散しないための条件は
   $\mu-k^2\leq0$
であることがすぐに分かる。
でも場所について発散しない条件までは分からない。また、擾乱の形を上手いこと与えないといけないのでまだまだ話は続く。