Fourier変換とLaplace変換 - Sλの日記 --うつろな日々--

確かに俺は数式を眺めるのが好きだ。
でもね、やっぱ長い計算とかは間違えたりするわけさ。
特にFourier変換とかを真面目に机の上で*1やるとなるともう小祭りなんですよ。で、変換したいのが偏微分方程式で場所のモード以外に時間についてのモードとかあった日にゃああんた全然違う変換を二回もしなきゃいけないんですよ。
そりゃあ間違えるさ。
とりあえず液膜振動の方程式の簡単な方の方程式の変換にすらまごついてる俺。
   $\frac{\partial Y}{\partial t}+\frac{\partial Y}{\partial x}-v=0$
をFourier変換
   $\scr{F}=2\Bigint_0^{\infty}dx \hspace{5mm}e^{i\alpha x}$
Laplace変換
   $\scr{L}=\Bigint_0^{\infty}dt \hspace{5mm}e^{-st}$
とそれぞれして、一階の方程式を変換する。
最初にFourier変換する。
   $\scr{F}[f(x)]=\hat{f}$
とすると、
   $\frac{\partial \hat{Y}}{\partial t}+\underbrace{\scr{F}[\frac{\partial Y}{\partial x}]}_{\equiv I_1}-\hat{v}=0$
となってここで場所についての微分をFourier変換する。
   $I_1=2\Bigint_0^{\infty}dx \hspace{5mm}e^{i\alpha x}\frac{\partial Y}{\partial x}\\=\underbrace{[e^{i\alpha x}Y]_0^{\infty}}_{Y_B}-i\alpha \Bigint_0^{\infty}dx \hspace{5mm}e^{i\alpha x}Y\\=2$Y_B-i\alpha \hat{Y}$$
になる。
だから上の偏微分方程式のFourier変換したのは
   $\frac{\partial \hat{Y}}{\partial t}-2Y_B-2i\alpha\hat{Y}-\hat{v}=0$
になる。その次に、更にこいつをLaplace変換する。ここで
   $\scr{L}[[f(x)]]=\bar{f}\\ \scr{L}\scr{F}[f(x)]=\tilde{f}$ ]
とすると、
   $\scr{L}[\frac{\partial \hat{Y}}{\partial t}]-2\tilde{Y}_B-2i\alpha\tilde{Y}-\tilde{v}=0$
で、また微分演算子をLaplace変換する*2
   $\Bigint_0^{\infty}dt\hspace{10} e^{st}\frac{\partial \hat{Y}}{\partial t}=[e^{st}\hat{Y}]_0^{\infty}+s\Bigint_0^{\infty}dt\hspace{10} e^{st}\hat{Y}\\=Y_I+s\tilde{Y}$
だから、Fourier変換とLaplace変換をした方程式は
   $Y_I+s\tilde{Y}-2\bar{Y}_B-2i\alpha\tilde{Y}-\tilde{v}=0$
になる。と思う。
なんつーかこういう計算をしてると収束するという条件はとてもありがたいんですよ。発散とかされるとマジでキレそうになります。