円筒座標系の運動方程式の移流項

流体力学

(u・grad)uというのは直交座標系だと何の事はないんだけど、極座標系とか円筒座標系とかになるとややこしくなります。球座標系なんて扱う気にすらなりません。
何でかっていうと実はベクトルuに何らかの演算子が掛かるときに、演算子はベクトルの成分とベクトルの基底両方を微分してるからです。つまり、∇にuを掛けるときには実はこんな感じになってます。
  \nabla\vec{u}=\(e_r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{e_{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+e_z\frac{\partial}{\partial z}\)\(e_ru_r+e_{\theta}u_{\theta}+e_zu_z\)
こういう行列計算は物凄く鬱陶しいので一部抜き出すと、
  e_r\frac{\partial}{\partial r}\vec{u}=e_r\frac{\partial}{\partial r}\(e_ru_r+e_{\theta}u_{\theta}+e_zu_z\)\\=e_r\(\frac{\partial(e_ru_r)}{\partial r}+\frac{\partial (e_{\theta}u_{\theta})}{\partial r}+\frac{\partial (e_zu_z)}{\partial r}\)
ここで基底を微分しても0になるような場合は何も考えないで済むが、直交座標系以外ではそうはいかないので積の微分公式を使って計算しなければいけない。実際には
  \frac{\partial e_r}{\partial \theta}=e_{\theta} \hspace{20mm}\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta}=-e_r
なので、運動方程式の移流項は、
  (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}=\(u_r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\)(e_ru_r+e_{\theta}u_{\theta}+e_zu_z)\\=e_ru_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+e_r\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}+u_r\frac{u_{\theta}}{r}\underbrace{\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta}}_{=-e_{\theta}}+e_ru_z\frac{\partial u_r}{\partial z}\\+e_{\theta}u_r\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+e_{\theta}\frac{u_{\theta}}{r}\underbrace{\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta}}_{=-e_r}+e_zu_z\frac{\partial u_{\theta}}{\partial z}\\+e_ru_z\frac{\partial u_z}{\partial r}+e_r\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \theta}+e_zu_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\\=\(\array{u_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta}+u_z\frac{\partial u_r}{\partial z}-\frac{u_{\theta}^2}{r}\\u_r\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}+u_z\frac{\partial u_{\theta}}{\partial z}+\frac{u_ru_{\theta}}{r}\\u_z\frac{\partial u_r}{\partial z}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \theta}+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}}\)
になる。
あー疲れた。