行列式

Grassman代数系で、経路積分の中の計算が
  \Bigint \Pi(d\phi^*d\phi)e^{-\phi_i^*A_{ij}\phi_j}=\det |A|
になるらしい。
なんで積分行列式になるんですかって感じですが、そもそも行列式のイメージが僕は渦度ていどのものしか持ってないんでなんとも言えんのですよ。
どーしーよーどーしよー。これはGrassman代数系固有の性質なんだろうか。きっとそうなんだろうが、和の計算が積に化けるなんて聞いたことねーよ。でもって行列式の定義は
  \det |A|=\sum_{\sigma}^n\text{sign} (\sigma)a_{1\sigma}a_{2\sigma}\cdots a_{n\sigma}
らしい。
要するにサイクリックなんですよね。でもね、なぜ和が積になる?もう少しGrassman台数調べっかな。


えーGrassman代数の世界では積分微分と同じであることが発覚しますた。なので、
  \Bigint \Pi(d\phi^*\phi)e^{-\phi_i^*A_{ij}\phi_j}=\frac{d^n}{d\psi^*_1d\phi^*_2\cdots d\phi_n^*}\frac{d^n}{d\psi_1d\phi_2\cdots d\phi_n}e^{-\phi_i^*A_{ij}\phi_j}
とかなる。
何となく行列式が出てきそうである。例えばi=1のとき、微分演算子の掛かる関数で答えに影響を与えるのはそれぞれの対応する項なので、
  \frac{d^n}{d\psi_1d\phi_2\cdots d\phi_n}e^{-\phi_1^*A_{11}\phi_1-\phi_1^*A_{12}\phi_2-\cdots -\phi_1^*A_{1n}\phi_n}=\phi^*_1A_{11}\frac{d^{n-1}}{\phi_2\cdots d\phi_n}e^{-\phi_1^*A_{11}\phi_1-\phi_1^*A_{12}\phi_2-\cdots -\phi_1^*A_{1n}\phi_n}
になる。これを繰り返すといい感じになりそうである。