直交座標系でのYoung-Laplace方程式 - Sλの日記 --うつろな日々--

弧長-偏角系を経由して直交座標系に持ってくるのは面倒臭いことが分かったので、Lagrangeanの直交座標系での表現をEuler-Lagrangeに突っ込んで直交座標系でのYoung-Laplace方程式を出すことにした。そして、そういえば材力でもそれなりに大きいたわみはYoung-Laplaceみたいになるんだよなあと思い出した。
材力の二重積分法は当然微小変形論の範疇だから使えるんだと思い出した。でもこの記憶も結構怪しい。
で、Lagrangeanは圧力と表面張力で
   $L=\Delta pV-\gamma A$
で、Δp、γ、V, Aはそれぞれ圧力差、表面張力係数、体積、表面積。
これをEuler-Lagrange
   $\frac{\partial L}{\partial y}+\frac{d}{dz}\frac{\partial L}{\partial y_z}=0$
に突っ込む。
因にLagrangeanの表式は直交座標(y,z)で、
   $L=\Bigint\left(\pi\Delta py^2-2\pi\gamma y\sqrt{1+y_z^2}\right)dz$
になる。
これを運動方程式に代入して、ノート1ページ位分の計算をすると、
   $\frac{1}{y\sqrt{1+y_z^2}}-\frac{y_{zz}}{(1+y_z^2)^{\frac{3}{2}}}=\lambda$
ここで
    $\lambda =\frac{\Delta p}{\gamma}$
弧長ー偏角座標系から出すのも計算量は変わらないけど、こっちは解析力学の手順に沿って計算を粛々と進行させるだけのシンプルな方法なので、こっちの方が正道だし、美しいと思ってしまう。
っつーか数式のこねくり回し方に美しい如何のとかいう俺はすげーダメな人っす。