混合層外部の時間発展方程式を満たす流速変動

今、軸対称噴流を考える。そこでの平均流というか、混合層は横方向にしか変動しない。
   $\frac{\partial v_i}{\partial t}+\frac{\partial v_iv_j}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}+\nu\frac{\partial s_{ij}}{\partial x_j}$
が運動量保存の式だが、ここで横方向にしか流速変動がない、つまり、全ての未知変数がy方向にしか変化しないとすると、これがすげー簡単になる。
上の式をReynolds方程式の形に書いて、渦無しの仮定を置くとCorrsin-Kistler方程式になる。
   $\frac{\partial}{\partial x_j}\bar{v'_iv'_j}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_j}\bar{v'_iv'_i}$
ここで、一方向にしか変化がないことを考えると、上の式は一本に縮退して、
   $\frac{\partial}{\partial x}\bar{u'v'}+\frac{\partial}{\partial y}\bar{v'v'}+\frac{\partial}{\partial z}\bar{w'v'}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial}{\partial y}(\bar{u'^2}+\bar{v'^2}+\bar{w'^2})\right\}$
になる。ここで、xとzについての微分は全部0になるので、
   $\bar{v'^2}=\bar{u'^2}+\bar{w'^2}$
になる。
あー何かよくよく考えたらすげー簡単な問題だった。