KdV方程式 - Sλの日記 --うつろな日々--

昨日で大体Burgers方程式の概略を学んだので、次はKdV。でもその前に砕波についてもちょっと勉強したい。でもKdVもやってみたいということで、何となくKdVについてのくだりを読んでみる。
因に参考書はこれ。昔見たときは数式の書き方がエレガントじゃねーなーとかおもったが、最近は許せるようになった。そりゃあ毎回毎回偏微分の記号を書いてたら腕がつかれるし、ノーともやったら無駄にしないといけないし。でも一般解を書くためにやったらめったら積分を使うのは初学者には分かりにくいと思った。もうなれたけど。
数式の書き方が鬱陶しいわりには本文の説明はすげー分かりやすいので、その点ではお薦めできるかも。って、誰がこんなマニアックなものを買うのだろうか?っつーか俺の買うものなんて、大概この手の理工書か下らないものなのでアフィリエイトなんかに参加しても絶対儲からないなあ。

偏微分方程式理工学者が書いた数学の本
神部勉 (著)
価格：￥3,059 （税込）
単行本: 278 p ; サイズ(cm): 21 x 15
出版社: 講談社 (1987/05)

でもって、KdVなんだが、
   $\psi_t+\psi\psi_x=-\mu\psi_{xxx}$
らしい。これはRusselが提案した方程式だかなんだかを適当に並進変換だかGallilei変換だかすると出てくる。
でまあ、最初にこの手の方程式の分析をするときには分散関係式を求めるのである。あー、分散関係式はある種の固有方程式で、確か楕円型(だっけか?波動方程式の分類は)の方程式についての固有方程式。で、
   $\psi=e^{ikx-i\omega t}$
を上の方程式に代入する。非線型項を無視して。
そうすると、
   $-\omega=\mu k^3$
になる。そして、波の位相速度は周波数と波数の比ω/kで書けるので、上の分散関係式から位相速度cを求めると、
   $c=\frac{\omega}{k}=\mu k^2$
になって位相速度は波数の二次関数になることが分かる。ということで、どうやらKdVの解は色んな波長の波がてんでバラバラの波速で運動するらしいことが分かる。
因にd'Alanbertianで書ける方の波動方程式、
   $\phi_{xx}=\frac{1}{c^2}\psi_{tt}$
の分散関係式は、
   $\phi=e^{ikx-i\omega t}$
を波動方程式に入れると出てきて、上の波動方程式の分散関係式は
   $k^2=\frac{\omega^2}{c^2}$
で、これから普通の波動方程式の分散関係式は、
   $c=\frac{\omega}{k}$
でまあ定数になる。っつーか波速の定義を波動方程式に使ってるので身も蓋もないんだが。でもまあKdVの場合はこうなるよっていうことです。
因にBurgers方程式についても同じようなことをやってみる。でもBurgers方程式はなんだかんだいって拡散方程式っぽくなるので、拡散方程式の固有方程式を導く感じでやると、案の定波が散逸するような結果が出る。でもって、その散逸項化が運動方程式の非線型項と拮抗して衝撃波が出てくるんだそうな。因にBurgers方程式はよくよく見ると、運動方程式から圧力項をさっ引いたものであることが分かる。でもって、粘性流体の運動方程式の一次元の表式は、
   $\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
で、Burgers方程式は、
   $\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
こうだから、まんま運動方程式なんである。っつーことで、衝撃波は粘性がないと出てこないってことらしい。本当か分からないけれど。余り参考にならなさげなエントリーだなあ。まあいいか。